Considere uma esfera de ferro sólida de 2,00 \mathrm{~cm} de raio. Suponha que sua temperatura é sempre uniforme em todo o seu volume (a) Encontre a massa da esfera. (b) Suponha que a esfera esteja a 20,0^{\circ} \mathrm{C} e tem emissividade 0,860 (para um corpo negro ideal, a emissividade é igual a 1). Usando a lei de Stefan-Boltzmann,
P=\sigma A e T^{4}
onde \sigma=5,67 \times 10^{-8} \mathrm{~W} \mathrm{~m}^{-2} \mathrm{~K}^{-4} e A é a área do corpo emissor, encontre a potência com a qual ela irradia ondas eletromagnéticas. (c) Se pudermos aplicar a lei de Wien,
\lambda_{\max } T=2,898 \times 10^{-3}
a este caso, qual é o comprimento de onda máximo das ondas emitidas? (d) Supondo que toda a energia é transportada por ondas de comprimento de onda igual ao comprimento de onda máximo calculado no item anterior, encontre a energia por fóton e (e) o número de fótons emitidos por este corpo por segundo. A constante de Planck h é igual a 6,626 \times 10^{-34} J.s.

Passo 1

O enunciado pede várias coisas sobre uma esfera sólida de ferro de raio 2,00\\ \mathrm{cm} e temperatura uniforme. Vou listar claramente o que foi dado e o que é pedido:
Dados fornecidos e constantes que vou usar:
  • raio da esfera: r=2{,}00\\ \mathrm{cm}=0{,}0200\\ \mathrm{m}.
  • temperatura: T_{\text{C}}=20{,}0^\circ\mathrm{C}.
  • emissividade: e=0{,}860.
  • constante de Stefan–Boltzmann: \sigma=5{,}67\times10^{-8}\\ \mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-4}}.
  • constante de Wien: \lambda_{\max}T=2{,}898\times10^{-3}\\ \mathrm{m\cdot K}.
  • constante de Planck: h=6{,}626\times10^{-34}\\ \mathrm{J\,s}.
  • velocidade da luz (usada no item (d)): c=3{,}00\times10^{8}\\ \mathrm{m\,s^{-1}}.
  • densidade típica do ferro (não dada no enunciado, uso o valor padrão): \rho=7{,}87\times10^{3}\\ \mathrm{kg\,m^{-3}}.
O que o enunciado pede:
(a) massa da esfera;
(b) potência irradiada pela esfera usando a lei de Stefan–Boltzmann;
(c) comprimento de onda de máxima emissão usando a lei de Wien;
(d) energia por fóton supondo que toda a energia vem de fótons com comprimento igual a \lambda_{\max};
(e) número de fótons emitidos por segundo.
Obs.: converterei \;20{,}0^\circ\mathrm{C} para Kelvin com \;T(\mathrm{K})=T(^{\circ}\mathrm{C})+273{,}15.

Passo 2

(a) Massa da esfera — volume e fórmula básica
Explicação e fórmulas: o volume de uma esfera de raio r é dado por
V=\frac{4}{3}\pi r^{3},
onde V tem unidades de \mathrm{m^{3}} se r estiver em metros. A massa é \;m=\rho V, onde \rho é a densidade (unidades \mathrm{kg\,m^{-3}}).
Cálculo passo a passo:
r=0{,}0200\\ \mathrm{m},
V=\frac{4}{3}\pi (0{,}0200)^{3}=\frac{4}{3}\pi \times 8{,}00\times10^{-6}\\ \mathrm{m^{3}}.
Calculemos o número:
V=\pi\times 1{,}0666667\times10^{-5}\\ \mathrm{m^{3}}\approx 3{,}35103\times10^{-5}\\ \mathrm{m^{3}}.
Agora a massa:
m=\rho V=(7{,}87\times10^{3})\times(3{,}35103\times10^{-5})\\ \mathrm{kg}.
Multiplicando:
m\approx 0{,}264\\ \mathrm{kg}.
Interpretação: isso equivale a cerca de 264\\ \mathrm{g}. (Usei \rho típica do ferro; se você tivesse outro valor de densidade, basta substituir.)

Passo 3

(b) Potência irradiada pela esfera — lei de Stefan–Boltzmann e área
Explicação: a potência total irradiada por um corpo com área A, temperatura absoluta T, emissividade e é
P=\sigma A e T^{4},
onde \sigma é a constante de Stefan–Boltzmann. Para uma esfera, a área superficial é
A=4\pi r^{2}.
Passos:
  1. Converter a temperatura para Kelvin:
T=20{,}0^\circ\mathrm{C}+273{,}15=293{,}15\\ \mathrm{K}.
  1. Calcular a área:
A=4\pi (0{,}0200)^{2}=4\pi \times 4{,}00\times10^{-4} =0{,}0016\pi\\ \mathrm{m^{2}}\approx 5{,}02655\times10^{-3}\\ \mathrm{m^{2}}.
  1. Calcular T^{4}:
T^{2}=(293{,}15)^{2}\approx 85\,936{,}9,
T^{4}=(T^{2})^{2}\approx 7{,}38517\times10^{9}\\ \mathrm{K^{4}}.
  1. Agora aplicar a lei:
P=\sigma A e T^{4}=(5{,}67\times10^{-8})(5{,}02655\times10^{-3})(0{,}860)(7{,}38517\times10^{9}).
Multiplicando em etapas: primeiro \sigma T^{4}\approx 5{,}67\times10^{-8}\times7{,}38517\times10^{9}\approx 4{,}18744\times10^{2}\\ \mathrm{W\,m^{-2}}. Em seguida A e\approx 5{,}02655\times10^{-3}\times0{,}860\approx 4{,}323\time s10^{-3}\\ \mathrm{m^{2}}. Finalmente
P\approx 4{,}18744\times10^{2}\times 4{,}323\times10^{-3}\\ \mathrm{W}\approx 1{,}81\\ \mathrm{W}.
Interpretação: a esfera, à temperatura ambiente 20{,}0^\circ\mathrm{C}, irradia cerca de 1{,}81\\ \mathrm{W}.

Passo 4

(c) Comprimento de onda de máxima emissão — lei de Wien
Explicação: a lei de Wien diz que o produto do comprimento de onda no qual a emissão é máxima, \lambda_{\max}, pela temperatura absoluta T é constante:
\lambda_{\max} T = 2{,}898\times10^{-3}\\ \mathrm{m\cdot K}.
Logo
\lambda_{\max}=\frac{2{,}898\times10^{-3}}{T}.
Cálculo com T=293{,}15\\ \mathrm{K}:
\lambda_{\max}=\frac{2{,}898\times10^{-3}}{293{,}15}\\ \mathrm{m}\approx 9{,}89\times10^{-6}\\ \mathrm{m}.
Interpretação: isso é cerca de 9{,}89\\ \mu\mathrm{m} — na região do infravermelho.

Passo 5

(d) Energia por fóton assumindo \lambda=\lambda_{\max}
Explicação: a energia de um fóton de comprimento de onda \lambda é dada por
E=\frac{h c}{\lambda},
onde h é a constante de Planck e c a velocidade da luz.
Cálculo com \lambda=9{,}89\times10^{-6}\\ \mathrm{m}:
E=\frac{(6{,}626\times10^{-34})(3{,}00\times10^{8})}{9{,}89\times10^{-6}}\\ \mathrm{J}.
Numericamente:
E\approx \frac{1{,}9878\times10^{-25}}{9{,}89\times10^{-6}}\\ \mathrm{J}\approx 2{,}01\times10^{-20}\\ \mathrm{J}.
Interpretação: cada fóton dessa onda infravermelha tem energia muito pequena, cerca de 2{,}01\times10^{-20}\\ \mathrm{J}.

Passo 6

(e) Número de fótons emitidos por segundo
Explicação: se a potência total emitida é P (energia por segundo) e cada fóton carrega energia E, então o número de fótons emitidos por segundo é
\dot{N}=\frac{P}{E}.
Cálculo usando P\approx 1{,}81\\ \mathrm{W} e E\approx 2{,}01\times10^{-20}\\ \mathrm{J}:
\dot{N}\approx\frac{1{,}81}{2{,}01\times10^{-20}}\\ \mathrm{s^{-1}}\approx 9{,}01\times10^{19}\\ \mathrm{s^{-1}}.
Interpretação: são emitidos cerca de 9{,}0\times10^{19} fótons por segundo.

Resposta

(a) m\approx 0{,}264\\ \mathrm{kg}
(b) P\approx 1{,}81\\ \mathrm{W}
(c) \lambda_{\max}\approx 9{,}89\times10^{-6}\\ \mathrm{m}
(d) E_{\text{fóton}}\approx 2{,}01\times10^{-20}\\ \mathrm{J}ó
(e) \dot{N}\approx 9{,}01\times10^{19}\\ \mathrm{s^{-1}}

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