Considere uma esfera de ferro sólida de
de raio. Suponha que sua temperatura é sempre uniforme em todo o seu volume (a) Encontre a massa da esfera. (b) Suponha que a esfera esteja a
e tem emissividade 0,860 (para um corpo negro ideal, a emissividade é igual a 1). Usando a lei de Stefan-Boltzmann,
onde
e
é a área do corpo emissor, encontre a potência com a qual ela irradia ondas eletromagnéticas. (c) Se pudermos aplicar a lei de Wien,
a este caso, qual é o comprimento de onda máximo das ondas emitidas? (d) Supondo que toda a energia é transportada por ondas de comprimento de onda igual ao comprimento de onda máximo calculado no item anterior, encontre a energia por fóton e (e) o número de fótons emitidos por este corpo por segundo. A constante de Planck
é igual a
J.s.
Passo 1
O enunciado pede várias coisas sobre uma esfera sólida de ferro de raio
e temperatura uniforme. Vou listar claramente o que foi dado e o que é pedido:
Dados fornecidos e constantes que vou usar:
- raio da esfera:
. - temperatura:
. - emissividade:
. - constante de Stefan–Boltzmann:
. - constante de Wien:
. - constante de Planck:
. - velocidade da luz (usada no item (d)):
. - densidade típica do ferro (não dada no enunciado, uso o valor padrão):
.
O que o enunciado pede:
(a) massa da esfera;
(b) potência irradiada pela esfera usando a lei de Stefan–Boltzmann;
(c) comprimento de onda de máxima emissão usando a lei de Wien;
(d) energia por fóton supondo que toda a energia vem de fótons com comprimento igual a ;
(e) número de fótons emitidos por segundo.
(a) massa da esfera;
(b) potência irradiada pela esfera usando a lei de Stefan–Boltzmann;
(c) comprimento de onda de máxima emissão usando a lei de Wien;
(d) energia por fóton supondo que toda a energia vem de fótons com comprimento igual a
(e) número de fótons emitidos por segundo.
Obs.: converterei
para Kelvin com
.
Passo 2
(a) Massa da esfera — volume e fórmula básica
Explicação e fórmulas: o volume de uma esfera de raio
é dado por
onde
tem unidades de
se
estiver em metros. A massa é
, onde
é a densidade (unidades
).
Cálculo passo a passo:
Calculemos o número:
Agora a massa:
Multiplicando:
Interpretação: isso equivale a cerca de
. (Usei
típica do ferro; se você tivesse outro valor de densidade, basta substituir.)
Passo 3
(b) Potência irradiada pela esfera — lei de Stefan–Boltzmann e área
Explicação: a potência total irradiada por um corpo com área
, temperatura absoluta
, emissividade
é
onde
é a constante de Stefan–Boltzmann. Para uma esfera, a área superficial é
Passos:
- Converter a temperatura para Kelvin:
- Calcular a área:
- Calcular
:
- Agora aplicar a lei:
Multiplicando em etapas: primeiro
. Em seguida
. Finalmente
Interpretação: a esfera, à temperatura ambiente
, irradia cerca de
.
Passo 4
(c) Comprimento de onda de máxima emissão — lei de Wien
Explicação: a lei de Wien diz que o produto do comprimento de onda no qual a emissão é máxima,
, pela temperatura absoluta
é constante:
Logo
Cálculo com
:
Interpretação: isso é cerca de
— na região do infravermelho.
Passo 5
(d) Energia por fóton assumindo
Explicação: a energia de um fóton de comprimento de onda
é dada por
onde
é a constante de Planck e
a velocidade da luz.
Cálculo com
:
Numericamente:
Interpretação: cada fóton dessa onda infravermelha tem energia muito pequena, cerca de
.
Passo 6
(e) Número de fótons emitidos por segundo
Explicação: se a potência total emitida é
(energia por segundo) e cada fóton carrega energia
, então o número de fótons emitidos por segundo é
Cálculo usando
e
:
Interpretação: são emitidos cerca de
fótons por segundo.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(b)
(c)
(d)
(e)