(a) Mostre que a energia interna molar E_{\text {nat }} de um sólido, de acordo com a teoria da capacidade calorífica de Einstein, pode ser escrita como
E_{\mathrm{int}}=3 R T_{\mathrm{E}}\left(\frac{1}{e^{x}-1}\right),
onde x=T_{1} / T, onde T_{1} é a temperatura de Einstein hv/k. (b) Verifique que E_{\text {m }} se aproxima de seu valor clássico 3 R T quando T \rightarrow \infty.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, no modelo de Einstein para sólidos, a energia interna molar pode ser escrita como
E_{\mathrm{int}}=3R\,T_{\mathrm{E}}\frac{1}{e^x-1},
onde x=T_{\mathrm{E}}/T e T_{\mathrm{E}}=h\nu/k. Para isso, vamos usar estatística canônica, calculando a partição de um oscilador quântico e a energia média, e em seguida confirmar o limite clássico T\to\infty, onde E_{\mathrm{int}}\to3RT.

Passo 2

No modelo de Einstein cada átomo se comporta como três osciladores harmônicos independentes de frequência \nu. Para um oscilador unidimensional, os níveis de energia são
E_n = h\nu\Bigl(n+\tfrac12\Bigr),\quad n=0,1,2,\dots
e a função partição canônica é
Z =\sum_{n=0}^\infty e^{-\beta h\nu(n+\tfrac12)} =e^{-\beta h\nu/2}\sum_{n=0}^\infty\bigl(e^{-\beta h\nu}\bigr)^n =\frac{e^{-\beta h\nu/2}}{1-e^{-\beta h\nu}},
onde \beta=1/(kT).

Passo 3

A energia média de um oscilador é
\langle E\rangle =-\frac{\partial\ln Z}{\partial\beta} =-\frac{\partial}{\partial\beta}\Bigl(-\tfrac12\beta h\nu-\ln\bigl(1-e^{-\beta h\nu}\bigr)\Bigr) =\frac12h\nu+\frac{h\nu}{e^{\beta h\nu}-1}.
O termo \tfrac12h\nu é a energia de ponto zero e, por não variar com T, não contribui para a capacidade calorífica. Assim, consideramos apenas a parte térmica
E_{\mathrm{térmica}}=\frac{h\nu}{e^{\beta h\nu}-1}.é

Passo 4

Como cada átomo tem três osciladores, a energia interna por átomo é
3\,\frac{h\nu}{e^{\beta h\nu}-1}.
Para um mol de átomos, multiplicamos por N_A, lembrando R=N_Ak. Definindo T_{\mathrm{E}}=h\nu/k e x=T_{\mathrm{E}}/T (logo \beta h\nu=x), obtemos
E_{\mathrm{int}} =3N_A\frac{h\nu}{e^{\beta h\nu}-1} =3R\,T_{\mathrm{E}}\frac{1}{e^x-1},
como era para mostrar.

Passo 5

No limite clássico T\to\infty, temos x=T_{\mathrm{E}}/T\to0. Usando a expansão
e^x-1\approx x \quad(x\to0),
segue
E_{\mathrm{int}} \approx 3R\,T_{\mathrm{E}}\frac{1}{x} =3R\,T_{\mathrm{E}}\frac{1}{T_{\mathrm{E}}/T} =3R\,T,
confirmando que a energia interna tende a 3RT.

Resposta

(a) E_{\mathrm{int}}=3R\,T_{\mathrm{E}}\frac{1}{e^x-1}, com x=T_{\mathrm{E}}/T.
(b) No limite T\to\infty, E_{\mathrm{int}}\to3RT.

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