(a) Mostre que a energia interna molar
de um sólido, de acordo com a teoria da capacidade calorífica de Einstein, pode ser escrita como
onde
, onde
é a temperatura de Einstein hv/k. (b) Verifique que
se aproxima de seu valor clássico
quando
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, no modelo de Einstein para sólidos, a energia interna molar pode ser escrita como
onde
e
. Para isso, vamos usar estatística canônica, calculando a partição de um oscilador quântico e a energia média, e em seguida confirmar o limite clássico
, onde
.
Passo 2
No modelo de Einstein cada átomo se comporta como três osciladores harmônicos independentes de frequência
. Para um oscilador unidimensional, os níveis de energia são
e a função partição canônica é
onde
.
Passo 3
A energia média de um oscilador é
O termo
é a energia de ponto zero e, por não variar com
, não contribui para a capacidade calorífica. Assim, consideramos apenas a parte térmica
Passo 4
Como cada átomo tem três osciladores, a energia interna por átomo é
Para um mol de átomos, multiplicamos por
, lembrando
. Definindo
e
(logo
), obtemos
como era para mostrar.
Passo 5
No limite clássico
, temos
. Usando a expansão
segue
confirmando que a energia interna tende a
.
Resposta
(a)
com
.
(b) No limite ,
.
(b) No limite