Para um tempo t=0, a função de onda para o átomo de Hidrogênio é:
\Psi(r, t=0)=\frac{1}{\sqrt{10}}\left(2 \Psi_{100}+\Psi_{210}+\sqrt{2} \Psi_{211}+\right. \sqrt{3} \Psi_{21,-1} )
onde os subíndices são os valores dos números quânticos n, l, m.
Qual é a probabilidade de encontrar o sistema com l=1, m=1 ?

Passo 1

O enunciado nos dá a função de onda num estado inicial superposto do átomo de Hidrogênio
\Psi(r,0)=\frac{1}{\sqrt{10}}\bigl(2\,\Psi_{100}+\Psi_{210}+\sqrt{2}\,\Psi_{211}+\sqrt{3}\,\Psi_{21,-1}\bigr),
onde cada \Psi_{nlm} é um autestado de momento angular com números quânticos n,l,m. A questão pede a probabilidade de encontrar o sistema no subespaço com l=1 e m=1, ou seja, no estado \Psi_{211}.

Passo 2

Em mecânica quântica, quando a função de onda é dada como soma de autovetores ortonormais
\Psi=\sum_i c_i\,\Psi_i,
a probabilidade de medir o sistema no autovetor \Psi_i é \lvert c_i\rvert^2. Aqui, o coeficiente associado a \Psi_{211} é
c_{211}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{10}}.

Passo 3

Calculamos a probabilidade como
P(l=1,m=1)=\bigl\lvert c_{211}\bigr\rvert^2 =\left(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{10}}\right)^{\!2} =\frac{2}{10} =\frac{1}{5}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{5}

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