1. (a) O quê é o Spin do átomo. Porquê o Spin não aparece na equação de Schrödinger.
    (b) Escreva a função de onda para o estado fundamental do átomo de Hidrogênio, na notação de números quânticos [autofunção \psi_{a, b, c, d} ].
    (c) Escreva as 3 equações de autovalores que são deduzidas a partir da equação de Schrödinger para o átomo de Hidrogênio [especifique de forma geral os números quânticos nessas equações].
    (d) Calcular o valor esperado do operador L z [use uma equação de autovalor para simplificar os cálculos].
    (e) Escreva as equações de autovalor para o Spin, as quais podem ser estendidas a partir das equações de autovalores escritas em (c).

Passo 1

O enunciado pede cinco coisas relacionadas ao átomo de hidrogênio e ao spin:
– (a) definir o spin e explicar por que não aparece na equação de Schrödinger não-relativística;
– (b) escrever a autofunção do estado fundamental em notação de números quânticos \psi_{n,l,m,m_s};
– (c) escrever as três equações de autovalor deduzidas da equação de Schrödinger para o átomo de hidrogênio;
– (d) calcular o valor esperado de L_z usando uma dessas equações;
– (e) estender as equações de autovalor para incluir o spin.

Passo 2

(a) Spin é o momento angular intrínseco de uma partícula, que não tem análogo clássico de “rotação” espacial mas se comporta como um momento angular adicional. Ele não aparece na equação de Schrödinger porque esta é não-relativística e trata apenas do movimento orbital (variáveis de posição e momento). Para incluir o spin, é preciso usar a equação de Pauli (ou Dirac no caso relativístico), que introduz termos de acoplamento spin-órbita e operadores de spin.

Passo 3

(b) No átomo de hidrogênio o estado fundamental tem n=1, l=0, m=0 e spin m_s=\pm\frac12. A função de onda completa é o produto da parte radial, da armónica esférica e do spinor:
\psi_{1,0,0,m_s}(r,\theta,\varphi,\sigma) =R_{10}(r)\,Y_0^0(\theta,\varphi)\,\chi_{m_s}(\sigma),
com
R_{10}(r)=2\bigl(a_0\bigr)^{-3/2}e^{-r/a_0}, \quad Y_0^0(\theta,\varphi)=\frac{1}{\sqrt{4\pi}}.

Passo 4

(c) As três equações de autovalor são:
\hat H\,\psi_{n,l,m,m_s} =E_n\,\psi_{n,l,m,m_s},
\hat L^2\,\psi_{n,l,m,m_s} =\hbar^2\,l(l+1)\,\psi_{n,l,m,m_s},
\hat L_z\,\psi_{n,l,m,m_s} =\hbar\,m\,\psi_{n,l,m,m_s},
onde n=1,2,\dots, l=0,1,\dots,n-1, m=-l,\dots,+l e m_s=\pm\tfrac12.

Passo 5

(d) O valor esperado de L_z num autoestado de L_z vale simplesmente o auto­valor:
\langle L_z\rangle =\hbar\,m.
No estado fundamental m=0, logo \langle L_z\rangle=0.

Passo 6

(e) Para o spin definimos os operadores \hat S^2 e \hat S_z com as equações de autovalor análogas:
\hat S^2\,\chi_{m_s} =\hbar^2\,s(s+1)\,\chi_{m_s},
\hat S_z\,\chi_{m_s} =\hbar\,m_s\,\chi_{m_s},
onde para elétron s=\tfrac12 e m_s=\pm\tfrac12.

Resposta

(a) Spin é o momento angular intrínseco, não aparece na equação de Schrödinger não-relativística;
(b) \displaystyle \psi_{1,0,0,m_s}(r,\theta,\varphi,\sigma)=2(a_0)^{-3/2}e^{-r/a_0}\tfrac{1}{\sqrt{4\pi}}\;\chi_{m_s}(\sigma);
(c) \hat H\psi=E_n\psi,\;\hat L^2\psi=\hbar^2l(l+1)\psi,\;\hat L_z\psi=\hbar m\psi;
(d) \langle L_z\rangle=\hbar\,m, e no estado fundamental ( m=0) vale zero;
(e) \hat S^2\chi=\hbar^2s(s+1)\chi,\;\hat S_z\chi=\hbar\,m_s\chi com s=\tfrac12, m_s=\pm\tfrac12.

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