- (a) O quê é o Spin do átomo. Porquê o Spin não aparece na equação de Schrödinger.
(b) Escreva a função de onda para o estado fundamental do átomo de Hidrogênio, na notação de números quânticos [autofunção
].
(c) Escreva as 3 equações de autovalores que são deduzidas a partir da equação de Schrödinger para o átomo de Hidrogênio [especifique de forma geral os números quânticos nessas equações].
(d) Calcular o valor esperado do operador
[use uma equação de autovalor para simplificar os cálculos].
(e) Escreva as equações de autovalor para o Spin, as quais podem ser estendidas a partir das equações de autovalores escritas em (c).
(b) Escreva a função de onda para o estado fundamental do átomo de Hidrogênio, na notação de números quânticos [autofunção
(c) Escreva as 3 equações de autovalores que são deduzidas a partir da equação de Schrödinger para o átomo de Hidrogênio [especifique de forma geral os números quânticos nessas equações].
(d) Calcular o valor esperado do operador
(e) Escreva as equações de autovalor para o Spin, as quais podem ser estendidas a partir das equações de autovalores escritas em (c).
Passo 1
O enunciado pede cinco coisas relacionadas ao átomo de hidrogênio e ao spin:
– (a) definir o spin e explicar por que não aparece na equação de Schrödinger não-relativística;
– (b) escrever a autofunção do estado fundamental em notação de números quânticos ;
– (c) escrever as três equações de autovalor deduzidas da equação de Schrödinger para o átomo de hidrogênio;
– (d) calcular o valor esperado de usando uma dessas equações;
– (e) estender as equações de autovalor para incluir o spin.
– (a) definir o spin e explicar por que não aparece na equação de Schrödinger não-relativística;
– (b) escrever a autofunção do estado fundamental em notação de números quânticos
– (c) escrever as três equações de autovalor deduzidas da equação de Schrödinger para o átomo de hidrogênio;
– (d) calcular o valor esperado de
– (e) estender as equações de autovalor para incluir o spin.
Passo 2
(a) Spin é o momento angular intrínseco de uma partícula, que não tem análogo clássico de “rotação” espacial mas se comporta como um momento angular adicional. Ele não aparece na equação de Schrödinger porque esta é não-relativística e trata apenas do movimento orbital (variáveis de posição e momento). Para incluir o spin, é preciso usar a equação de Pauli (ou Dirac no caso relativístico), que introduz termos de acoplamento spin-órbita e operadores de spin.
Passo 3
(b) No átomo de hidrogênio o estado fundamental tem
,
,
e spin
. A função de onda completa é o produto da parte radial, da armónica esférica e do spinor:
com
Passo 4
(c) As três equações de autovalor são:
onde
,
,
e
.
Passo 5
(d) O valor esperado de
num autoestado de
vale simplesmente o autovalor:
No estado fundamental
, logo
.
Passo 6
(e) Para o spin definimos os operadores
e
com as equações de autovalor análogas:
onde para elétron
e
.
Resposta
(a) Spin é o momento angular intrínseco, não aparece na equação de Schrödinger não-relativística;
(b) ;
(c) ;
(d) , e no estado fundamental (
) vale zero;
(e) com
,
.
(b)
(c)
(d)
(e)