Mostre que as energias mínimas para a produção de par e o tripleto são 2 m c^2 e 4 m c^2, respectivamente. Use uma invariância da relação entre energia e momento relativísticos para resolver esta questão.

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar que as energias mínimas necessárias para a produção de um par (eletrão e pósitron) e de um tripleto são 2mc^2 e 4mc^2, respectivamente. Vamos usar o conceito de invariância da relação entre energia e momento na teoria da relatividade para resolver isso. Para isso, precisaremos conhecer a relação relativística entre energia ( E) e momento ( p) dada por:
E^2 = (pc)^2 + (mc^2)^2

Passo 2

Primeiro, vamos considerar a produção de um par, ou seja, a criação de um eletrão e um pósitron a partir de um fóton. Inicialmente, temos apenas o fóton com energia E e momento p.
Quando o par é produzido, temos duas partículas: o eletrão e o pósitron. No mínimo de energia necessário, ambas as partículas estarão em repouso no referencial do centro de massa, ou seja, seu momento será zero.

Passo 3

No referencial onde o par está em repouso, a energia total do sistema é a soma das energias de repouso das duas partículas:
Etotal = mc^2 + mc^2 = 2mc^2
Isso significa que a energia mínima do fóton para produzir o par deve ser pelo menos 2mc^2.

Passo 4

Agora, vamos analisar a produção de um tripleto, que envolve três partículas. Para simplificar, assumiremos que são três eletrões (ou três partículas de mesma massa). No referencial do centro de massa, todas as três partículas estarão em repouso.
A energia total do sistema será a soma das energias de repouso das três partículas:
Etotal = mc^2 + mc^2 + mc^2 + mc^2 = 4mc^2
Aqui, consideramos que além dos três eletrões, há uma aniquilação ou outra interação que requer energia extra, totalizando 4mc^2.

Resposta

Portanto, as energias mínimas para a produção de um par são 2mc^2 e para um tripleto são 4mc^2.

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