Mostre que a entalpia de uma mistura binária de dois gases ideais com p e T constantes é nula. Explique este resultado.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a entalpia de mistura de uma mistura binária de dois gases ideais, realizada sob pressão p e temperatura T constantes, é nula.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • Temos dois gases ideais (uma mistura binária).
  • O processo de mistura ocorre à pressão constante p.
  • O processo de mistura ocorre à temperatura constante T.
  • Queremos o valor da entalpia de mistura, isto é, \Delta H_{\text{mix}} = H_{\text{final}} - H_{\text{inicial}}.

Passo 2

Relembrando a definição de entalpia e entalpia molar (aula rápida e concreta).
A entalpia total de um sistema é definida por
H = U + pV,
onde U é a energia interna, p a pressão e V o volume.
A entalpia molar ( h) de uma substância é a entalpia por mol, logo para uma quantidade n de mols:
H = n\,h.
Para um sistema com várias espécies a entalpia total é a soma das contribuições molares:
H = \sum_i n_i\,h_i.
Aqui n_i é o número de mols da espécie i e h_i é a entalpia molar da espécie i.

Passo 3

Propriedade crucial dos gases ideais (explicação didática):
Para um gás ideal a energia interna molar u depende apenas da temperatura T. Intuitivamente: num gás ideal não há energia potencial de interação entre moléculas (não existem “ligações” nem forças intermoleculares), então a energia interna é apenas a soma das energias cinéticas das moléculas, e essas dependem só de T. Logo
u_i = u_i(T).
A entalpia molar h_i relaciona-se com u_i por
h_i = u_i + p v_i,
onde v_i é o volume molar da espécie i. Pelo gás ideal vale a lei dos gases para uma mol:
p v_i = R T,
onde R é a constante universal dos gases. Substituindo,
h_i = u_i(T) + R T.
Assim concluímos que, para um gás ideal, a entalpia molar h_i é função apenas de T, ou seja
h_i = h_i(T).
Importante: h_i não depende de p nem da composição da mistura — apenas de T.

Passo 4

Escrevendo a entalpia total antes e depois da mistura (aplicando a propriedade acima).
Considere que temos n_1 mols do gás 1 e n_2 mols do gás 2. Antes da mistura (cada um em sua porção) a entalpia total é a soma das entalpias molares multiplicadas pelos mols:
H_{\text{inicial}} = n_1 h_1(T) + n_2 h_2(T).
Depois que os gases são misturados à mesma temperatura T e à mesma pressão p (condições do enunciado), cada componente ainda tem a mesma entalpia molar correspondente àquela temperatura, porque, como vimos, h_i depende só de T. Portanto a entalpia total da mistura é
H_{\text{final}} = n_1 h_1(T) + n_2 h_2(T).
Repare: as expressões acima são idênticas, porque h_1 e h_2 não mudaram com a mistura se T permanece o mesmo.

Passo 5

Cálculo da entalpia de mistura.
A entalpia de mistura é a variação
\Delta H_{\text{mix}} = H_{\text{final}} - H_{\text{inicial}}.
Substituindo as expressões do passo anterior,
\Delta H_{\text{mix}} = \bigl(n_1 h_1(T) + n_2 h_2(T)\bigr) - \bigl(n_1 h_1(T) + n_2 h_2(T)\bigr) = 0.
Portanto a entalpia de mistura é nula.

Passo 6

Interpretação física e explicação intuitiva (pra te deixar tranquilo sobre o porquê).
  • Num gás ideal não há energia de interação entre moléculas; misturar não cria nem destrói energia de interação.
  • Se a temperatura não muda, a energia cinética média das moléculas (que determina U) também não muda.
  • Como h = u + p v e o termo p v para cada mol é R T (fixado por T), a entalpia molar de cada espécie não muda ao misturar.
  • Logo, embora a mistura aumente a desordem (a entropia cresce — é daí que vem a espontaneidade do processo), não há troca de energia que altere a entalpia total: \Delta H_{\text{mix}} = 0.
    Um jeito curto de lembrar: para gases ideais a entalpia é “uma função de temperatura só” — mistura isoterma não muda entalpia.

Resposta

\Delta H_{\text{mix}}=0

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