No treinamento de um modelo de Machine Learning, você utiliza uma matriz de dados X que é essencial para a resolução de problemas de otimização. A matriz X é dada por:
X=(llll 1 & 2 & 3 & 4 2 & 1 & 4 & 3 3 & 4 & 1 & 2 4 & 3 & 2 & 1 )
Qual é o valor do determinante da matriz X? O determinante é usado para verificar se a matriz é invertível. Se o determinante for zero, a matriz não é invertível, o que pode indicar que o modelo pode ter problemas de singularidade.

Passo 1

Beleza, então temos um exercício sobre determinantes de matrizes, que é um conceito fundamental em álgebra linear e muito usado em Machine Learning para verificar se uma matriz é invertível. A gente vai calcular o determinante da matriz X fornecida para ver se ela pode ser invertida ou se causa algum problema no modelo por ser singular (ou seja, ter determinante zero).

Passo 2

Primeiro, vamos olhar a matriz X que a gente tem:
X = 1 & 2 & 3 & 4 2 & 1 & 4 & 3 3 & 4 & 1 & 2 4 & 3 & 2 & 1
Para encontrar o determinante dessa matriz 4x4, a gente pode usar o método de eliminação de Gauss para transformar a matriz em uma forma triangular (onde todos os elementos abaixo da diagonal principal são zeros). Depois disso, o determinante é apenas o produto dos elementos da diagonal.

Passo 3

Vamos começar aplicando operações de linha para simplificar a matriz. Nosso objetivo é zerar os elementos abaixo do primeiro elemento da primeira coluna.
  1. Primeira operação: Subtrair 2 vezes a primeira linha da segunda linha:
R2 = R2 - 2R1 Rightarrow 2 & 1 & 4 & 3 - 2 times 1 & 2 & 3 & 4 = 0 & -3 & -2 & -5
  1. Segunda operação: Subtrair 3 vezes a primeira linha da terceira linha:
R3 = R3 - 3R1 Rightarrow 3 & 4 & 1 & 2 - 3 times 1 & 2 & 3 & 4 = 0 & -2 & -8 & -10
  1. Terceira operação: Subtrair 4 vezes a primeira linha da quarta linha:
R4 = R4 - 4R1 Rightarrow 4 & 3 & 2 & 1 - 4 times 1 & 2 & 3 & 4 = 0 & -5 & -10 & -15
Agora nossa matriz fica assim:
1 & 2 & 3 & 4 0 & -3 & -2 & -5 0 & -2 & -8 & -10 0 & -5 & -10 & -15

Passo 4

Vamos continuar simplificando. Agora, vamos trabalhar com a segunda coluna para zerar os elementos abaixo dela.
  1. Quarta operação: Multiplicar a segunda linha por -13 para facilitar:
R2 = -13R2 Rightarrow 0 & -3 & -2 & -5 times -13 = 0 & 1 & 23 & 53
  1. Quinta operação: Subtrair -2 vezes a nova segunda linha da terceira linha:
R3 = R3 + 2R2 Rightarrow 0 & -2 & -8 & -10 + 2 times 0 & 1 & 23 & 53 = 0 & 0 & -203 & -203
  1. Sexta operação: Subtrair -5 vezes a nova segunda linha da quarta linha:
R4 = R4 + 5R2 Rightarrow 0 & -5 & -10 & -15 + 5 times 0 & 1 & 23 & 53 = 0 & 0 & -203 & -203
Agora, nossa matriz está assim:
1 & 2 & 3 & 4 0 & 1 & 23 & 53 0 & 0 & -203 & -203 0 & 0 & -203 & -203

Passo 5

Observamos que as últimas duas linhas são iguais:
0 & 0 & -203 & -203
Quando duas linhas de uma matriz são iguais, isso significa que elas são linearmente dependentes, ou seja, uma pode ser escrita como múltiplo da outra. Nesse caso, isso faz com que o determinante da matriz seja zero.

Resposta

O determinante da matriz X é zero. Isso indica que a matriz não é invertível e pode causar problemas de singularidade no modelo de Machine Learning.

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