Use a regra da cadeia para encontrar d z / d t ou d w / d t
z=raiz1+x y, x=tan (t), y=arctan (t)

Passo 1

A questão dá a função composta z=raiz1+x y com as dependências x=tan(t) e y=arctan(t). Precisamos achar dz/dt usando regra da cadeia, além de saber derivar tan(t), arctan(t) e aplicar a regra do produto.

Passo 2

Aplicamos a regra da cadeia definindo u = 1 + x y. Assim,
dzdt = dzdu cdot dudt

Passo 3

Derivando z em relação a u, como z = u^1/2, temos
dzdu = tfrac12raizu

Passo 4

Agora vamos encontrar du/dt. Como u = 1 + x y, usamos regra do produto para x y:
dudt = ddt(x y) = x',y + x,y'

Passo 5

Calculamos as derivadas intermediárias:
x' = ddt(tan t) = sec^2 t, y' = ddt(arctan t) = 11 + t^2

Passo 6

Substituindo x=tan t, y=arctan t, x' e y' em du/dt:
dudt = sec^2 tcdotarctan t + tan tcdot11 + t^2

Passo 7

Finalmente, juntando tudo na expressão de dz/dt:
dzdt = 12raiz1 + tan t,arctan tl(sec^2 t,arctan t + tan t1 + t^2r)

Resposta

dzdt = sec^2 t,arctan t + tfractan t1 + t^22raiz1 + tan t,arctan t.

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