(*) Mostre que se f(x)=g(x)^{h(x)}, então
f^{\prime}(x)=g(x)^{h(x)} \cdot\left[h^{\prime}(x) \cdot \ln g(x)+\frac{h(x) \cdot g^{\prime}(x)}{g(x)}\right]
Utilize este resultado para derivar as funções a seguir:
f(x)=x^{\cos x}

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=g(x)^{h(x)} e pede para mostrar que
f^{\prime}(x)=g(x)^{h(x)}\cdot\left[h^{\prime}(x)\cdot\ln g(x)+\frac{h(x)\cdot g^{\prime}(x)}{g(x)}\right].
Além disso, pede para usar esse resultado para derivar a função f(x)=x^{\cos x}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função geral é f(x)=g(x)^{h(x)}.
  • Queremos provar a fórmula da derivada indicada.
  • Depois queremos aplicar essa fórmula com g(x)=x e h(x)=\cos x.
Condição necessária (importante): para fazermos \ln g(x) precisa-se ter g(x)>0 no ponto considerado (ou tratar casos especiais de potências com expoente racional, mas aqui usaremos a hipótese g(x)>0 para permitir o uso do logaritmo natural).

Passo 2

Estratégia (técnica): usar diferenciação logarítmica. A ideia é transformar a potência variável em um produto usando logaritmo, porque potências do tipo g(x)^{h(x)} ficam mais fáceis ao aplicar \ln. Vamos explicar por quê.
Regra usada (lembrando com calma):
  • Se u(x) é uma função diferenciável e u(x)>0, então a derivada de \ln u(x) é dada pela regra da cadeia:
\frac{d}{dx}\big(\ln u(x)\big)=\frac{u'(x)}{u(x)}.
Isto vem porque a derivada de \ln t em relação a t é 1/t, e aplicando a regra da cadeia multiplicamos por u'(x).
Também usaremos a regra do produto: se p(x) e q(x) são diferenciáveis, então
\frac{d}{dx}\big(p(x)q(x)\big)=p'(x)q(x)+p(x)q'(x).

Passo 3

Aplicar \ln à função f(x). Como estamos assumindo g(x)>0, f(x)=g(x)^{h(x)}>0 e podemos escrever:
\ln f(x)=\ln\big(g(x)^{h(x)}\big).
Usando a propriedade do logaritmo \ln(a^b)=b\ln a, obtemos:
\ln f(x)=h(x)\cdot\ln g(x).
Isto transforma a potência numa multiplicação, que é muito mais fácil de derivar.

Passo 4

Derivar ambos os lados em relação a x. No lado esquerdo usamos a regra da cadeia para \ln f(x):
\frac{d}{dx}\big(\ln f(x)\big)=\frac{f'(x)}{f(x)}.
Explicando isso: a derivada de \ln t é 1/t, e como t=f(x) aplicamos a regra da cadeia e multiplicamos por f'(x), logo ( \ln f )' = f'/f.

Passo 5

Agora derivamos o lado direito h(x)\ln g(x) usando a regra do produto:
\frac{d}{dx}\big(h(x)\ln g(x)\big)=h'(x)\ln g(x)+h(x)\cdot\frac{d}{dx}\big(\ln g(x)\big).
Em seguida, aplicamos a regra da cadeia para \ln g(x):
\frac{d}{dx}\big(\ln g(x)\big)=\frac{g'(x)}{g(x)}.
Portanto o lado direito fica
h'(x)\ln g(x)+h(x)\cdot\frac{g'(x)}{g(x)}.

Passo 6

Igualando as derivadas dos lados esquerdo e direito obtemos:
\frac{f'(x)}{f(x)}=h'(x)\ln g(x)+h(x)\cdot\frac{g'(x)}{g(x)}.
Multiplicando ambos os lados por f(x) e lembrando que f(x)=g(x)^{h(x)}, temos:
f'(x)=g(x)^{h(x)}\cdot\left[h'(x)\ln g(x)+h(x)\cdot\frac{g'(x)}{g(x)}\right].
Isto demonstra a fórmula pedida. Pequena observação: a demonstração foi baseada em g(x)>0 para usar \ln g(x); para g(x) negativo há tratamentos especiais dependendo de h(x), mas para a maioria das aplicações reais (como g(x)=x com x>0) a fórmula acima vale diretamente.

Passo 7

Agora aplicamos o resultado à função específica f(x)=x^{\cos x}.
Identificamos:
g(x)=x,\qquad h(x)=\cos x.
Calculamos as derivadas simples:
g'(x)=1,\qquad h'(x)=-\sin x.
Importante: para usar \ln g(x)=\ln x precisamos x>0. Portanto o resultado será válido para x>0.

Passo 8

Substituímos g,g',h,h' na fórmula geral:
f'(x)=x^{\cos x}\cdot\left[(-\sin x)\cdot\ln x+\cos x\cdot\frac{1}{x}\right].
Podemos reescrever numa forma mais bonita agrupando termos:
f'(x)=x^{\cos x}\cdot\left(\frac{\cos x}{x}-\sin x\cdot\ln x\right).

Passo 9

Interpretação rápida para a prova (dica prática): quando tiver base e expoente dependentes de x, lembre-se de tomar \ln e transformar em produto; depois derive usando produto e regra da cadeia. Isso evita ficar tentando aplicar potências diretamente — é a técnica padrão e rápida.

Resposta

f'(x)=g(x)^{h(x)}\cdot\left[h'(x)\cdot\ln g(x)+\frac{h(x)\cdot g'(x)}{g(x)}\right]
\text{Para }f(x)=x^{\cos x}\text{ (com }x>0\text{):}\qquad f'(x)=x^{\cos x}\cdot\left(\frac{\cos x}{x}-\sin x\cdot\ln x\right)

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