(*) Mostre que se
, então
Utilize este resultado para derivar as funções a seguir:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para mostrar que
Além disso, pede para usar esse resultado para derivar a função
.
Informações relevantes fornecidas:
- A função geral é
. - Queremos provar a fórmula da derivada indicada.
- Depois queremos aplicar essa fórmula com
e .
Condição necessária (importante): para fazermos
precisa-se ter
no ponto considerado (ou tratar casos especiais de potências com expoente racional, mas aqui usaremos a hipótese
para permitir o uso do logaritmo natural).
Passo 2
Estratégia (técnica): usar diferenciação logarítmica. A ideia é transformar a potência variável em um produto usando logaritmo, porque potências do tipo
ficam mais fáceis ao aplicar
. Vamos explicar por quê.
Regra usada (lembrando com calma):
- Se
é uma função diferenciável e , então a derivada de é dada pela regra da cadeia:
Isto vem porque a derivada de
em relação a
é
, e aplicando a regra da cadeia multiplicamos por
.
Também usaremos a regra do produto: se
e
são diferenciáveis, então
Passo 3
Aplicar
à função
. Como estamos assumindo
,
e podemos escrever:
Usando a propriedade do logaritmo
, obtemos:
Isto transforma a potência numa multiplicação, que é muito mais fácil de derivar.
Passo 4
Derivar ambos os lados em relação a
. No lado esquerdo usamos a regra da cadeia para
:
Explicando isso: a derivada de
é
, e como
aplicamos a regra da cadeia e multiplicamos por
, logo
.
Passo 5
Agora derivamos o lado direito
usando a regra do produto:
Em seguida, aplicamos a regra da cadeia para
:
Portanto o lado direito fica
Passo 6
Igualando as derivadas dos lados esquerdo e direito obtemos:
Multiplicando ambos os lados por
e lembrando que
, temos:
Isto demonstra a fórmula pedida. Pequena observação: a demonstração foi baseada em
para usar
; para
negativo há tratamentos especiais dependendo de
, mas para a maioria das aplicações reais (como
com
) a fórmula acima vale diretamente.
Passo 7
Agora aplicamos o resultado à função específica
.
Identificamos:
Calculamos as derivadas simples:
Importante: para usar
precisamos
. Portanto o resultado será válido para
.
Passo 8
Substituímos
na fórmula geral:
Podemos reescrever numa forma mais bonita agrupando termos:
Passo 9
Interpretação rápida para a prova (dica prática): quando tiver base e expoente dependentes de
, lembre-se de tomar
e transformar em produto; depois derive usando produto e regra da cadeia. Isso evita ficar tentando aplicar potências diretamente — é a técnica padrão e rápida.