Seja tal que . Mostre que
(a) .
(b) Se , então existe uma base de tal que
Passo 1
O enunciado define um operador linear Tcolon K^2toK^2 tal que Tcirc T=0. Precisamos mostrar que
(a) ImTsubseteqker T e
(b) se Tneq0, então existe uma base B de K^2 em que
[T]B = 0 & 0 1 & 0
O conteúdo usado envolve operadores nilpotentes, Teorema da Dimensão (posto-nulo) e construção de base adaptada.
Passo 2
Para (a), seja winImT. Então existe vinK^2 com w=T(v). Aplicando T em w dá
T(w)=Tl(T(v)r)=(Tcirc T)(v)=0
Logo winker T, isto é ImTsubseteqker T.
Passo 3
Para (b), como Tneq0 segue ImTneq0, logo dimImT>=1. Da parte (a) vem ImTsubseteqker T, então
dimker T;>=;dimImT
Pelo Teorema da Dimensão dimker T+dimImT=2. A única forma de somar a um número >=1 e dar 2 com inteiro é ter dimImT=1 e dimker T=1. Assim
dimImT=dimker T=1 e ImT=ker T
Passo 4
Escolha um vetor v1 tal que T(v1)neq0. Defina v2=T(v1). Então v2neq0 e, como T^2=0, temos T(v2)=Tl(T(v1)r)=0. Para ver que v1,v2 é linearmente independente, suponha alpha v1+beta v2=0. Aplicando T dá
alpha,T(v1)+beta,T(v2) = alpha,v2+0 = 0,
logo alpha=0. Então beta=0 também, mostrando independência. Como são dois vetores em K^2, formam base.