Considere a dedução da derivada da função f(x) = x^2 no ponto x0 = 2 pela definição formal de derivada. Dentre as alternativas a seguir, indique a única que corresponde à conclusão que chegamos durante essa dedução:
(a) (4 Delta x + (Delta x)^2) / Delta x tende para 4 quando Delta x tende a 0 .
(b) (4 + (Delta x)²) / Delta x tende para +infinito quando Delta x tende a 0 , logo a função não tem derivada no ponto x_0.
© (4 + 4 Delta x + (Delta x)^(2)) / Delta x tende para 4 quando Delta x tende a 0.
(d) (4 Delta x + (Delta x)^2) / Delta x é um limite indeterminado quando Delta x tende a 0 , logo a função não tem derivada no ponto x_0.
(e) (4 Delta x + (Delta x)^2) / Delta x tende para valores diferentes se Delta x tende a 0 pela esquerda ou pela direita, logo a função não tem derivada no ponto x_0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a derivada da função no ponto usando a definição formal de derivada. Isso envolve entender o que é derivada, usar a definição de limite e aplicar essas ideias para resolver a questão. Vamos precisar lembrar como calcular limites e manipular expressões algébricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a definição formal da derivada. A derivada de no ponto é dada por:
Nesse caso, e , então vamos substituir na fórmula.

Passo 3

Substituindo os valores na definição:
Vamos expandir o termo :

Passo 4

Agora, substituímos de volta na expressão:

Passo 5

Vamos simplificar a fração dividindo cada termo do numerador por :

Passo 6

Agora, calculamos o limite quando tende a 0:

Resposta

A alternativa correta é a (a): tende para 4 quando tende a 0.

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