Mostre que a função
tem uma raiz no intervalo
. Usando o Método de Newton e com uma condição inicial de sua escolha, determine a raiz aproximada com erro menor do que 0,000001 .
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras:
- Mostrar que a função
tem pelo menos uma raiz no intervalo . - Usar o Método de Newton, com uma condição inicial à minha escolha, para encontrar uma aproximação da raiz com erro menor que
.
Informações relevantes dadas:
- A função é
. - O intervalo onde devo provar existência de raiz é
. - Tenho liberdade para escolher a condição inicial do Método de Newton.
Passo 2
Provar existência de raiz em
(teorema do valor intermediário).
Calculo nas extremidades:
Calculo
Como
e
e
é função polinomial (logo contínua), pelo Teorema do Valor Intermediário existe pelo menos um
tal que
. Pronto: há uma raiz no intervalo.
Passo 3
Apresentar o Método de Newton e justificar sua aplicação.
- Derivada da função:
- Fórmula do Método de Newton: a partir de uma aproximação
, a próxima é
Intuição curta (didática): substitui a função pela reta tangente em
e toma a raiz dessa reta como próxima aproximação. Quando a aproximação já está perto da raiz e
não é zero, o método converge muito rápido (convergência quadrática).
Critério de parada prático: vou parar quando a diferença entre iterações consecutivas satisfizer
. Quando o método já está na região de convergência essa diferença é uma boa estimativa do erro absoluto.
Escolha da condição inicial: uso
(ponto médio de
), escolha natural e que costuma funcionar bem aqui.
Passo 4
Primeira iteração (cálculos explícitos, sem pular passos).
-
. - Calcular
e :
- Aplicando Newton:
Observação:
exatamente.
Passo 5
Segunda iteração (calcular
com frações exatas quando possível).
- Avalio
e . Com obtém-se, calculando com cuidado,
- Aplicando Newton:
(Demonstrei a manipulação das frações para que os valores não venham “do nada”.)
Passo 6
Terceira iteração (aqui usamos aproximações decimais com precisão suficiente).
- Avalio
e numericamente (com precisão compatível com o critério desejado):
- Aplicando Newton:
Comentário: a diferença
, já bem pequena; o método está convergindo rápido.
Passo 7
Quarta iteração (verificar convergência final).
- Calculo
numericamente; fica muito pequeno:
- Logo a correção de Newton é
então
- A diferença
é da ordem de , muito menor que . Portanto já atingimos a precisão pedida.
Comentário pedagógico: quando
fica da ordem de
e
da ordem de
, a correção é da ordem de
e podemos considerar convergido para todos os propósitos práticos com tolerância
.