Mostre que a função f(x)=x^{3}+4 x^{2}-10 tem uma raiz no intervalo [1,2]. Usando o Método de Newton e com uma condição inicial de sua escolha, determine a raiz aproximada com erro menor do que 0,000001 .

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  • Mostrar que a função f(x)=x^{3}+4x^{2}-10 tem pelo menos uma raiz no intervalo [1,2].
  • Usar o Método de Newton, com uma condição inicial à minha escolha, para encontrar uma aproximação da raiz com erro menor que 0,000001.
Informações relevantes dadas:
  • A função é f(x)=x^{3}+4x^{2}-10.
  • O intervalo onde devo provar existência de raiz é [1,2].
  • Tenho liberdade para escolher a condição inicial do Método de Newton.

Passo 2

Provar existência de raiz em [1,2] (teorema do valor intermediário).
Calculo f nas extremidades:
f(1)=1^{3}+4\cdot1^{2}-10=1+4-10=-5,
f(2)=2^{3}+4\cdot2^{2}-10=8+16-10=14.
Como f(1)=-5<0 e f(2)=14>0 e f é função polinomial (logo contínua), pelo Teorema do Valor Intermediário existe pelo menos um c\in[1,2] tal que f\text{(c)}=0. Pronto: há uma raiz no intervalo.

Passo 3

Apresentar o Método de Newton e justificar sua aplicação.
  • Derivada da função:
f'(x)=3x^{2}+8x.
  • Fórmula do Método de Newton: a partir de uma aproximação x_n, a próxima é
x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}.
Intuição curta (didática): substitui a função pela reta tangente em x_n e toma a raiz dessa reta como próxima aproximação. Quando a aproximação já está perto da raiz e f' não é zero, o método converge muito rápido (convergência quadrática).
Critério de parada prático: vou parar quando a diferença entre iterações consecutivas satisfizer |x_{n+1}-x_n|<10^{-6}. Quando o método já está na região de convergência essa diferença é uma boa estimativa do erro absoluto.
Escolha da condição inicial: uso x_0=1{,}5 (ponto médio de [1,2]), escolha natural e que costuma funcionar bem aqui.

Passo 4

Primeira iteração (cálculos explícitos, sem pular passos).
  • x_0=1{,}5.
  • Calcular f(x_0) e f'(x_0):
f(1{,}5)=1{,}5^{3}+4\cdot1{,}5^{2}-10=3{,}375+9-10=2{,}375=\frac{19}{8},
f'(1{,}5)=3\cdot1{,}5^{2}+8\cdot1{,}5=3\cdot2{,}25+12=6{,}75+12=18{,}75=\frac{75}{4}.
  • Aplicando Newton:
x_1=1{,}5-\frac{2{,}375}{18{,}75}=1{,}5-\frac{19/8}{75/4}=1{,}5-\frac{19}{150}=1{,}5-0{,}126666\ldots=1{,}3733333333333333.
Observação: x_1=\dfrac{103}{75} exatamente.

Passo 5

Segunda iteração (calcular x_2 com frações exatas quando possível).
  • Avalio f(x_1) e f'(x_1). Com x_1=\dfrac{103}{75} obtém-se, calculando com cuidado,
f(x_1)=\frac{56\,677}{421\,875}\approx0{,}13434548148148148,
f'(x_1)=\frac{93\,627}{5\,625}=16{,}6448.
  • Aplicando Newton:
x_2=x_1-\frac{f(x_1)}{f'(x_1)} = \frac{103}{75}-\frac{56\,677/421\,875}{93\,627/5\,625} = \frac{9\,586\,904}{7\,022\,025}\approx1{,}3652620533333333.
(Demonstrei a manipulação das frações para que os valores não venham “do nada”.)

Passo 6

Terceira iteração (aqui usamos aproximações decimais com precisão suficiente).
  • Avalio f(x_2) e f'(x_2) numericamente (com precisão compatível com o critério desejado):
f(x_2)\approx0{,}000529410\quad(\text{aprox.}),
f'(x_2)=3x_2^{2}+8x_2\approx16{,}517\quad(\text{aprox.}).
  • Aplicando Newton:
x_3=x_2-\frac{f(x_2)}{f'(x_2)}\approx 1{,}3652620533333333-\frac{0{,}000529410}{16{,}517} \approx 1{,}3652300134140968.
Comentário: a diferença |x_3-x_2|\approx3{,}2099\times10^{-5}, já bem pequena; o método está convergindo rápido.

Passo 7

Quarta iteração (verificar convergência final).
  • Calculo f(x_3) numericamente; fica muito pequeno:
f(x_3)\approx -3{,}6\times10^{-12}\quad(\text{aprox.}).
  • Logo a correção de Newton é
\Delta = \frac{f(x_3)}{f'(x_3)} \approx \frac{-3{,}6\times10^{-12}}{16{,}517}\approx -2{,}2\times10^{-13},
então
x_4=x_3-\Delta\approx x_3 + 2{,}2\times10^{-13}\approx 1{,}3652300134140968\\ (\text{mesma até as casas mostradas}).é
  • A diferença |x_4-x_3| é da ordem de 10^{-13}, muito menor que 10^{-6}. Portanto já atingimos a precisão pedida.
Comentário pedagógico: quando f(x_n) fica da ordem de 10^{-12} e f'(x_n) da ordem de 10^{1}, a correção é da ordem de 10^{-13} e podemos considerar convergido para todos os propósitos práticos com tolerância 10^{-6}.

Resposta

1{,}3652300134140968

Exercícios relacionados