Mostre que a equação x^{13}+12 x+13 y^{6}=1 não admite soluções inteiras. (sugestão: reduza módulo 13 e use Teorema de Fermat.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a equação
x^{13} + 12x + 13y^{6} = 1
não tem solução em inteiros.
Conteúdo necessário: aritmética modular (redução módulo 13) e o Teorema de Fermat (pequeno teorema de Fermat).

Passo 2

Reduzimos ambos os lados da equação módulo 13. Note que
13y^{6}\equiv 0\pmod{13},
logo a equação fica
x^{13} + 12x \equiv 1 \pmod{13}.

Passo 3

Pelo pequeno teorema de Fermat, se 13\nmid x então
x^{12}\equiv 1\pmod{13} \quad\Longrightarrow\quad x^{13}\equiv x\pmod{13}.
Se 13\mid x então x\equiv 0 e também x^{13}\equiv 0\equiv x\pmod{13}.
Logo, em todo caso vale
x^{13}\equiv x\pmod{13}.

Passo 4

Substituindo em
x^{13}+12x\equiv 1\pmod{13},
temos
x+12x =13x\equiv 1\pmod{13}.
Mas 13x\equiv 0\pmod{13}, de modo que obtemos a contradição
0\equiv 1\pmod{13}.
Isso impede qualquer solução inteira.

Resposta

Não existem soluções inteiras para a equação dada.

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