Nos problemas abaixo, identifique a cônica conforme a equação dada. Depois, determine o centro, os vértices, os focos e a excentricidade. Esboce o gráfico.
4 x^{2}+9 y^{2}=25

Passo 1

O enunciado nos dá a equação da cônica
4x^{2}+9y^{2}=25
e pede para identificá-la, achar o centro, os vértices, os focos, a excentricidade e esboçar o gráfico.
Conteúdo: elipse em posição principal, cujo padrão é
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1,
com a\ge b>0. Para resolver, vamos pôr a equação na forma padrão e usar as relações
c^{2}=a^{2}-b^{2}, \quad e=\frac{c}{a}.

Passo 2

Colocamos a equação na forma padrão dividindo ambos os lados por 25:
\frac{4x^{2}}{25}+\frac{9y^{2}}{25}=1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{x^{2}}{25/4}+\frac{y^{2}}{25/9}=1.
Logo,
a^{2}=\frac{25}{4},\quad b^{2}=\frac{25}{9}.

Passo 3

Calculamos a e b:
a=\sqrt{\frac{25}{4}}=\frac{5}{2}, \quad b=\sqrt{\frac{25}{9}}=\frac{5}{3}.
Como a>b, o eixo maior é horizontal.
Portanto:
– Centro: (0,0).
– Vértices: \bigl(\pm a,0\bigr)=\bigl(\pm\frac{5}{2},\,0\bigr).
– Co-vértices: \bigl(0,\pm b\bigr)=\bigl(0,\pm\frac{5}{3}\bigr).

Passo 4

Calculamos a distância focal c e a excentricidade e.
c^{2}=a^{2}-b^{2} =\frac{25}{4}-\frac{25}{9} =\frac{225-100}{36} =\frac{125}{36},
c=\frac{5\sqrt{5}}{6}, \quad e=\frac{c}{a} =\frac{\frac{5\sqrt{5}}{6}}{\frac{5}{2}} =\frac{\sqrt{5}}{3}.
Logo os focos são
\bigl(\pm c,0\bigr)=\bigl(\pm\frac{5\sqrt{5}}{6},\,0\bigr)
e a excentricidade é e=\frac{\sqrt{5}}{3}\approx0,745.

Passo 5

Esboço do gráfico:
– Centro em (0,0).
– Eixo maior horizontal com extensão até \pm2{,}5.
– Eixo menor vertical com extensão até \pm1{,}666.
– Focos internos em \pm0{,}93 no eixo x.
O contorno é uma oval simétrica em relação aos eixos coordenados.

Resposta

Cônica: elipse com eixos alinhados aos eixos coordenados.
Centro: (0,0)
Vértices: \bigl(\pm\frac{5}{2},0\bigr)
Co-vértices: \bigl(0,\pm\frac{5}{3}\bigr)
Focos: \bigl(\pm\frac{5\sqrt{5}}{6},0\bigr)
Excentricidade: e=\frac{\sqrt{5}}{3}
Esboço: oval horizontal centrada na origem, com semi-eixo maior 2{,}5 e menor 1{,}666.

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