Uma função H(x, y) é chamada homogênea de ordem n se H(t x, t y)=t^n H(x, y). Mostre que a equação
M(x, y) d x+N(x, y) d y=0
é homogênea se M(x, y) e N(x, y) forem homogêneos da mesma ordem.

Passo 1

O enunciado define uma função H(x,y) como homogênea de ordem n se
H(t x,t y)=t^nH(x,y)forall t>0
Diz-se que a equação diferencial
M(x,y),dx+N(x,y),dy=0
é homogênea quando os coeficientes M e N são homogêneos da mesma ordem. Queremos mostrar que, se
M(t x,t y)=t^nM(x,y) e N(t x,t y)=t^nN(x,y),
então a equação é realmente homogênea.

Passo 2

Use a propriedade de homogeneidade para “fatorar” x^n. Escreva
M(x,y)=x^nM!l(1,tfracyxr), N(x,y)=x^nN!l(1,tfracyxr)
Dessa forma o quociente fica
M(x,y)N(x,y) =x^nMl(1,tfracyxr)x^nNl(1,tfracyxr) =Ml(1,tfracyxr)Nl(1,tfracyxr),
ou seja, depende apenas de tfracyx.

Passo 3

Divida a equação original por dx e use o resultado do passo anterior:
dydx =-M(x,y)N(x,y) =-Ml(1,tfracyxr)Nl(1,tfracyxr) equiv f!l(tfracyxr)
Isso mostra que tfracdydx é uma função de tfracyx apenas, característica de uma EDO homogênea, e permite a substituição clássica y=ux.

Resposta

A equação
M(x,y),dx+N(x,y),dy=0
é homogênea sempre que M e N forem homogêneos da mesma ordem.

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