Uma função
é chamada homogênea de ordem
se
. Mostre que a equação
é homogênea se
e
forem homogêneos da mesma ordem.
Passo 1
O enunciado define uma função
como homogênea de ordem
se
Diz-se que a equação diferencial
é homogênea quando os coeficientes
e
são homogêneos da mesma ordem. Queremos mostrar que, se
então a equação é realmente homogênea.
Passo 2
Use a propriedade de homogeneidade para “fatorar”
. Escreva
Dessa forma o quociente fica
ou seja, depende apenas de
.
Passo 3
Divida a equação original por
e use o resultado do passo anterior:
Isso mostra que
é uma função de
apenas, característica de uma EDO homogênea, e permite a substituição clássica
.
Resposta
A equação
é homogênea sempre que
e
forem homogêneos da mesma ordem.