Considere a curva
descrita em coordenadas polares.
Como seria a descrição dessa curva em coordenadas cartesianas?
Como seria a descrição dessa curva em coordenadas cartesianas?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma curva
descrita em coordenadas polares pela equação
com
. Isso significa que temos um círculo de raio 2, mas só a parte que vai de 0 a
radianos (ou seja, metade do círculo). Para converter isso para coordenadas cartesianas, vamos precisar usar as fórmulas de conversão entre coordenadas polares e cartesianas.
Passo 2
Primeiro, lembra que as coordenadas polares
podem ser convertidas para as coordenadas cartesianas
usando as seguintes equações:
Como nossa equação polar é
, podemos substituir esse valor nas fórmulas acima.
Passo 3
Substituindo
nas equações de conversão, temos:
Essas equações nos dão a relação de
e
em termos de
. Mas queremos uma única equação que relacione
e
diretamente.
Passo 4
Para eliminar
, podemos usar a identidade trigonométrica básica:
Vamos dividir as equações de
e
por 2 para facilitar:
Agora, elevamos ao quadrado ambos os lados e somamos:
Passo 5
Simplificando a equação acima:
Muliplicando tudo por 4 para simplificar:
Essa é a equação de um círculo de raio 2 em coordenadas cartesianas. Mas lembre-se, originalmente
varia de
a
, então estamos considerando apenas metade desse círculo.
Resposta
A descrição da curva em coordenadas cartesianas é: