Considere a curva C: r=2,0 <= theta <= pi descrita em coordenadas polares.
Como seria a descrição dessa curva em coordenadas cartesianas?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma curva descrita em coordenadas polares pela equação com . Isso significa que temos um círculo de raio 2, mas só a parte que vai de 0 a radianos (ou seja, metade do círculo). Para converter isso para coordenadas cartesianas, vamos precisar usar as fórmulas de conversão entre coordenadas polares e cartesianas.

Passo 2

Primeiro, lembra que as coordenadas polares x = r cos(theta) podem ser convertidas para as coordenadas cartesianas y = r sin(theta) usando as seguintes equações:
Como nossa equação polar é , podemos substituir esse valor nas fórmulas acima.

Passo 3

Substituindo x = 2 cos(theta) nas equações de conversão, temos:
y = 2 sin(theta)
Essas equações nos dão a relação de e em termos de . Mas queremos uma única equação que relacione e diretamente.

Passo 4

Para eliminar cos^2(theta) + sin^2(theta) = 1 , podemos usar a identidade trigonométrica básica:
x2 = cos(theta)
Vamos dividir as equações de y2 = sin(theta) e (x2)^2 + (y2)^2 = cos^2(theta) + sin^2(theta) = 1 por 2 para facilitar:
Agora, elevamos ao quadrado ambos os lados e somamos:

Passo 5

Simplificando a equação acima:
x^24 + y^24 = 1
Muliplicando tudo por 4 para simplificar:
x^2 + y^2 = 4
Essa é a equação de um círculo de raio 2 em coordenadas cartesianas. Mas lembre-se, originalmente varia de a , então estamos considerando apenas metade desse círculo.

Resposta

A descrição da curva em coordenadas cartesianas é:
x^2 + y^2 = 4 com y >= 0

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