5.2. Mostre que a equação

\cos x=x
tem ao menos uma solução em \left(0, \frac{\pi}{2}\right).
Solução. Colocamos a equação na forma f(x)=0 :
f(x)=\cos x-x
A função f é contínua em \left[0, \frac{\pi}{2}\right], pois é diferença de funções contínuas. Avaliando os extremos:
\begin{gathered} f(0)=\cos 0-0=1 \\\ f\left(\frac{\pi}{2}\right)=\cos \left(\frac{\pi}{2}\right)-\frac{\pi}{2}=0-\frac{\pi}{2}<0 \end{gathered}
Como houve mudança de sinal, pelo Teorema do Valor Intermediário existe c \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right) tal que
f\text{(c)}=0 .
Portanto,
\cos c=c .

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a equação \cos x = x tem pelo menos uma solução no intervalo \left(0,\frac{\pi}{2}\right).
Informações dadas:
  • A equação a resolver é \cos x = x.
  • O intervalo onde devemos garantir a existência de solução é \left(0,\frac{\pi}{2}\right).
Pergunta concreta:
  • Mostrar que existe algum \,c\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)\, tal que \cos c = c.

Passo 2

Coloco a equação na forma de uma função cuja raiz quero encontrar. Defino
f(x)=\cos x - x.
Explicação didática sobre continuidade (porque isso será usado): uma função f é contínua em um ponto a se \lim_{x\to a} f(x)=f(a). Intuitivamente, não há “pulos” no gráfico de f nesse ponto. Propriedades úteis (fáceis de usar na prova): funções básicas como \cos x e a função identidade x\mapsto x são contínuas em todo \mathbb{R}; a soma e a diferença de funções contínuas são contínuas. Portanto, como \cos x e x são contínuas em \left[0,\frac{\pi}{2}\right], a função
f(x)=\cos x - x
é contínua em \left[0,\frac{\pi}{2}\right].

Passo 3

Avalio f no extremo esquerdo do intervalo, x=0. Uso que \cos 0=1. Assim,
f(0)=\cos 0 - 0 = 1.
Portanto f(0)=1>0.

Passo 4

Avalio f no extremo direito do intervalo, x=\frac{\pi}{2}. Uso que \cos\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=0. Assim,
f\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=\cos\!\left(\frac{\pi}{2}\right)-\frac{\pi}{2}=0-\frac{\pi}{2}=-\frac{\pi}{2}.
Como \frac{\pi}{2}>0, temos f\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=-\frac{\pi}{2}<0.

Passo 5

Agora há uma mudança de sinal entre os extremos:
f(0)=1>0\qquad\text{e}\qquad f\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=-\frac{\pi}{2}<0.
Apresento o Teorema do Valor Intermediário (TVI) que vou usar: se uma função f é contínua num intervalo fechado [a,b] e f(a) e f(b) têm sinais opostos, então existe c\in(a,b) tal que f\text{(c)}=0. Intuição simples: o gráfico, sem saltos, tem de passar pelo eixo x ao ir de positivo a negativo (um argumento formal pode ser feito por bisseção).

Passo 6

Aplicando o TVI à função f contínua em \left[0,\frac{\pi}{2}\right] e usando que f(0)>0 e f\!\left(\frac{\pi}{2}\right)<0, conclui-se que existe
c\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)
tal que
f\text{(c)}=0.
Como f\text{(c)}=\cos c - c, isso significa que
\cos c = c.

Resposta

\displaystyle \exists\,c\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)\text{ tal que }\cos c=c.

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