5.2. Mostre que a equação
tem ao menos uma solução em
.
Solução. Colocamos a equação na forma
:
A função
é contínua em
, pois é diferença de funções contínuas. Avaliando os extremos:
Como houve mudança de sinal, pelo Teorema do Valor Intermediário existe
tal que
Portanto,
Solução. Colocamos a equação na forma
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a equação
tem pelo menos uma solução no intervalo
.
Informações dadas:
- A equação a resolver é
. - O intervalo onde devemos garantir a existência de solução é
.
Pergunta concreta:
- Mostrar que existe algum
tal que .
Passo 2
Coloco a equação na forma de uma função cuja raiz quero encontrar. Defino
Explicação didática sobre continuidade (porque isso será usado): uma função
é contínua em um ponto
se
. Intuitivamente, não há “pulos” no gráfico de
nesse ponto. Propriedades úteis (fáceis de usar na prova): funções básicas como
e a função identidade
são contínuas em todo
; a soma e a diferença de funções contínuas são contínuas. Portanto, como
e
são contínuas em
, a função
é contínua em
.
Passo 3
Avalio
no extremo esquerdo do intervalo,
. Uso que
. Assim,
Portanto
.
Passo 4
Avalio
no extremo direito do intervalo,
. Uso que
. Assim,
Como
, temos
.
Passo 5
Agora há uma mudança de sinal entre os extremos:
Apresento o Teorema do Valor Intermediário (TVI) que vou usar: se uma função
é contínua num intervalo fechado
e
e
têm sinais opostos, então existe
tal que
. Intuição simples: o gráfico, sem saltos, tem de passar pelo eixo
ao ir de positivo a negativo (um argumento formal pode ser feito por bisseção).
Passo 6
Aplicando o TVI à função
contínua em
e usando que
e
, conclui-se que existe
tal que
Como
, isso significa que