4.5. Determine os intervalos de continuidade de
Solução. Para o logaritmo estar definido, precisamos de
Logo,
Para o denominador estar definido e não ser zero, precisamos de
pois a raiz aparece no denominador. Então
A interseção das condições é
Portanto, a função é contínua em
Passo 1
O que o enunciado pede:
- Determinar os intervalos de continuidade da função
Informações relevantes que o enunciado dá:
- A função envolve um logaritmo natural
. - A função envolve uma raiz quadrada
no denominador. - É necessário achar onde a função está bem definida (domínio) e, portanto, onde é contínua.
Passo 2
Entender as condições para a função estar bem definida (primeira etapa para continuidade).
Regra 1 — argumento do logaritmo: o logaritmo natural está definido somente quando o argumento é estritamente positivo. Então precisamos de
Vamos resolver essa desigualdade.
Passo 3
Resolver
.
Escrevendo como produto:
As raízes da expressão são
e
. Para saber onde o produto é positivo, fazemos a análise de sinais ou usamos a propriedade de polinômio quadrático: fora das raízes o sinal é o mesmo e muda nas raízes. Assim temos
Portanto a condição do logaritmo impõe
.
Passo 4
Regra 2 — radicando da raiz quadrada no denominador: a raiz quadrada
exige normalmente
, mas como ela está no denominador devemos exigir estritamente
pois não podemos dividir por zero. Vamos resolver essa desigualdade.
Passo 5
Resolver
.
Reescrevendo:
Isso implica
Portanto a condição do denominador impõe
.
Passo 6
Interseção das condições (domínio da função): a função só está definida quando ambas as condições são atendidas ao mesmo tempo. Intersecamos
A interseção é
Logo o domínio de
é
.
Passo 7
Por que a função é contínua nesses intervalos?
- O logaritmo natural
é contínuo para . Aqui o argumento é que, no domínio encontrado, é positivo. - A função
é contínua para . - A razão de duas funções contínuas é contínua nos pontos onde o denominador é diferente de zero.
- Portanto, em todos os pontos do domínio
a função é contínua.
Passo 8
Observações sobre os pontos de fronteira (por que não são incluídos):
- Em
tem-se , logo não está definido; portanto não pertencem ao domínio. - Em
tem-se , então a raiz no denominador é zero e a expressão não está definida; portanto também não pertencem ao domínio.