4.5. Determine os intervalos de continuidade de

f(x)=\frac{\ln \left(x^{2}-4\right)}{\sqrt{9-x^{2}}}
Solução. Para o logaritmo estar definido, precisamos de
x^{2}-4>0
Logo,
(x-2)(x+2)>0 \quad \Longrightarrow \quad x<-2 \quad \text { ou } \quad x>2 .
Para o denominador estar definido e não ser zero, precisamos de
9-x^{2}>0
pois a raiz aparece no denominador. Então
x^{2}<9 \quad \Longrightarrow \quad-3<x<3 \text {. }
A interseção das condições é
(-3,3) \cap((-\infty,-2) \cup(2, \infty))=(-3,-2) \cup(2,3) .
Portanto, a função é contínua em
(-3,-2) \cup(2,3) .

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Determinar os intervalos de continuidade da função f(x)=\frac{\ln\!\left(x^{2}-4\right)}{\sqrt{9-x^{2}}}.
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • A função envolve um logaritmo natural \ln(\cdot).
  • A função envolve uma raiz quadrada \sqrt{\cdot} no denominador.
  • É necessário achar onde a função está bem definida (domínio) e, portanto, onde é contínua.

Passo 2

Entender as condições para a função estar bem definida (primeira etapa para continuidade).
Regra 1 — argumento do logaritmo: o logaritmo natural está definido somente quando o argumento é estritamente positivo. Então precisamos de
x^{2}-4>0.
Vamos resolver essa desigualdade.

Passo 3

Resolver \;x^{2}-4>0.
Escrevendo como produto:
x^{2}-4=(x-2)(x+2).
As raízes da expressão são x=-2 e x=2. Para saber onde o produto é positivo, fazemos a análise de sinais ou usamos a propriedade de polinômio quadrático: fora das raízes o sinal é o mesmo e muda nas raízes. Assim temos
(x-2)(x+2)>0 \quad\Longrightarrow\quad x<-2 \;\text{ ou }\; x>2.
Portanto a condição do logaritmo impõe x\in(-\infty,-2)\cup(2,\infty).

Passo 4

Regra 2 — radicando da raiz quadrada no denominador: a raiz quadrada \sqrt{9-x^{2}} exige normalmente 9-x^{2}\ge0, mas como ela está no denominador devemos exigir estritamente
9-x^{2}>0,
pois não podemos dividir por zero. Vamos resolver essa desigualdade.

Passo 5

Resolver \;9-x^{2}>0.
Reescrevendo:
9-x^{2}>0 \quad\Longleftrightarrow\quad x^{2}<9.
Isso implica
-3<x<3.
Portanto a condição do denominador impõe x\in(-3,3).

Passo 6

Interseção das condições (domínio da função): a função só está definida quando ambas as condições são atendidas ao mesmo tempo. Intersecamos
(-\infty,-2)\cup(2,\infty) \quad\text{com}\quad (-3,3).
A interseção é
(-3,-2)\cup(2,3).
Logo o domínio de f é (-3,-2)\cup(2,3).

Passo 7

Por que a função é contínua nesses intervalos?
  • O logaritmo natural \ln(t) é contínuo para t>0. Aqui o argumento é t=x^{2}-4 que, no domínio encontrado, é positivo.
  • A função g(x)=\sqrt{9-x^{2}} é contínua para 9-x^{2}>0.
  • A razão de duas funções contínuas é contínua nos pontos onde o denominador é diferente de zero.
  • Portanto, em todos os pontos do domínio (-3,-2)\cup(2,3) a função f(x)=\dfrac{\ln\!\left(x^{2}-4\right)}{\sqrt{9-x^{2}}} é contínua.

Passo 8

Observações sobre os pontos de fronteira (por que não são incluídos):
  • Em x=\pm2 tem-se x^{2}-4=0, logo \ln(0) não está definido; portanto x=\pm2 não pertencem ao domínio.
  • Em x=\pm3 tem-se 9-x^{2}=0, então a raiz no denominador é zero e a expressão não está definida; portanto x=\pm3 também não pertencem ao domínio.

Resposta

(-3,-2)\cup(2,3)

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