5.1. Use o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que a equação

x^{3}+x-1=0
tem ao menos uma solução no intervalo (0,1).
Solução. Defina
f(x)=x^{3}+x-1 .
Como f é polinomial, é contínua em [0,1]. Calculando nos extremos:
\begin{gathered} f(0)=0^{3}+0-1=-1, \\\ f(1)=1^{3}+1-1=1 . \end{gathered}
Como f(0)<0 e f(1)>0, o valor 0 está entre f(0) e f(1). Pelo Teorema do Valor Intermediário, existe c \in(0,1) tal que
f\text{(c)}=0 .
Logo, a equação possui ao menos uma solução em ( 0,1 ).

Passo 1

O enunciado pede que usemos o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que a equação
x^{3}+x-1=0
tem ao menos uma solução no intervalo (0,1).
As informações dadas são:
  • A função a considerar é f(x)=x^{3}+x-1.
  • O intervalo onde devemos procurar a(s) solução(ões) é (0,1).
  • Foi explicitamente indicado o uso do Teorema do Valor Intermediário.

Passo 2

Primeiro precisamos saber se podemos aplicar o Teorema do Valor Intermediário. Uma hipótese necessária é que a função seja contínua em [0,1].
Explicando o que significa continuidade, de forma simples e prática: dizer que f é contínua em um ponto a significa que os valores f(x) quando x se aproxima de a chegam ao valor f(a). Para polinômios isso sempre vale, porque polinômios não têm “buracos” nem saltos — são funções bem comportadas em todo lugar.
Como f(x)=x^{3}+x-1 é um polinômio, concluímos que f é contínua em todo \mathbb{R}, portanto em particular é contínua em [0,1].

Passo 3

Agora avaliamos f nos extremos do intervalo [0,1]. Vamos calcular explicitamente:
f(0)=0^{3}+0-1=-1,
f(1)=1^{3}+1-1=1.
Analisando os sinais: f(0)=-1<0 e f(1)=1>0. Ou seja, os valores de f em 0 e 1 têm sinais opostos.

Passo 4

Vou enunciar o Teorema do Valor Intermediário (TVI) de forma simples e direta: se uma função g é contínua em [a,b] e L é qualquer número entre g(a) e g(b), então existe pelo menos um c\in(a,b) tal que g\text{(c)}=L.
No nosso caso, a função é f, o intervalo é [0,1] e o número que queremos “atingir” é L=0. Como 0 está entre f(0)=-1 e f(1)=1, todas as hipóteses do TVI estão satisfeitas.

Passo 5

Aplicando o Teorema do Valor Intermediário: por continuidade de f em [0,1] e por f(0)<0<f(1), existe c\in(0,1) tal que
f\text{(c)}=0,
ou seja,
c^{3}+c-1=0.
Isso demonstra que a equação tem ao menos uma solução em (0,1).

Passo 6

(Comentário adicional útil para prova) Se quiser saber se essa solução é única: examine a derivada
f'(x)=3x^{2}+1.
Como 3x^{2}\ge 0 para todo x, tem-se f'(x)\ge 1>0 para todo x. Logo f é estritamente crescente em \mathbb{R}. Uma função estritamente crescente só pode ter, no máximo, uma raiz. Como já mostramos que existe pelo menos uma raiz em (0,1), concluímos que essa raiz é única.

Resposta

Existe c\in(0,1) tal que c^{3}+c-1=0.

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