5.1. Use o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que a equação
tem ao menos uma solução no intervalo
.
Solução. Defina
Como
é polinomial, é contínua em
. Calculando nos extremos:
Como
e
, o valor 0 está entre
e
. Pelo Teorema do Valor Intermediário, existe
tal que
Logo, a equação possui ao menos uma solução em ( 0,1 ).
Solução. Defina
Passo 1
O enunciado pede que usemos o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que a equação
tem ao menos uma solução no intervalo
.
As informações dadas são:
As informações dadas são:
- A função a considerar é
. - O intervalo onde devemos procurar a(s) solução(ões) é
. - Foi explicitamente indicado o uso do Teorema do Valor Intermediário.
Passo 2
Primeiro precisamos saber se podemos aplicar o Teorema do Valor Intermediário. Uma hipótese necessária é que a função seja contínua em
.
Explicando o que significa continuidade, de forma simples e prática: dizer que
é contínua em um ponto
significa que os valores
quando
se aproxima de
chegam ao valor
. Para polinômios isso sempre vale, porque polinômios não têm “buracos” nem saltos — são funções bem comportadas em todo lugar.
Como
é um polinômio, concluímos que
é contínua em todo
, portanto em particular é contínua em
.
Passo 3
Agora avaliamos
nos extremos do intervalo
. Vamos calcular explicitamente:
Analisando os sinais:
e
. Ou seja, os valores de
em
e
têm sinais opostos.
Passo 4
Vou enunciar o Teorema do Valor Intermediário (TVI) de forma simples e direta: se uma função
é contínua em
e
é qualquer número entre
e
, então existe pelo menos um
tal que
.
No nosso caso, a função é
, o intervalo é
e o número que queremos “atingir” é
. Como
está entre
e
, todas as hipóteses do TVI estão satisfeitas.
Passo 5
Aplicando o Teorema do Valor Intermediário: por continuidade de
em
e por
, existe
tal que
ou seja,
Isso demonstra que a equação tem ao menos uma solução em
.
Passo 6
(Comentário adicional útil para prova) Se quiser saber se essa solução é única: examine a derivada
Como
para todo
, tem-se
para todo
. Logo
é estritamente crescente em
. Uma função estritamente crescente só pode ter, no máximo, uma raiz. Como já mostramos que existe pelo menos uma raiz em
, concluímos que essa raiz é única.
Resposta
Existe
tal que
.