Mostre que existe um número
tal que
Solução. Defina
Essa função é contínua em [ 1,2 ], por ser polinomial. Calculando:
Como
e
, o valor 0 está entre os valores assumidos nos extremos do intervalo. Portanto, pelo Teorema do Valor Intermediário, existe
tal que
Assim,
Passo 1
O que o enunciado pede: mostrar que existe um número
em
tal que
Informações dadas ou implicadas no enunciado:
- Há um intervalo fechado
onde devemos procurar a solução. - A expressão que deve ficar igual a zero é
. - Não foram fornecidos valores adicionais; apenas é preciso provar a existência de pelo menos uma raiz em
.
Passo 2
Definimos a função que vamos estudar:
Explicação sobre continuidade (passo didático): uma função é contínua em um ponto
se o valor da função naquele ponto é igual ao limite quando
se aproxima de
. Polinômios são formados por somas e produtos de potências de
com constantes; operações essas que preservam continuidade. Portanto, polinômios são contínuos em todo
. Em particular,
é contínua no intervalo
.
Passo 3
Agora calculamos o valor de
no extremo esquerdo
:
Mostrei passo a passo a aritmética:
, multiplicando
, somando os termos obtemos
.
Passo 4
Calculamos o valor de
no extremo direito
:
Novamente fiz as operações em ordem:
,
, e a soma final dá
.
Passo 5
Observando os sinais obtidos:
Agora a ideia teórica (explicada): existe um teorema que diz o seguinte — se uma função é contínua em
e assume valores com sinais opostos em
e
(isto é,
), então existe pelo menos um ponto
tal que
. Intuição simples: uma função contínua que vai de um valor negativo a um valor positivo tem de “passar por” zero em algum ponto entre eles, porque não pode saltar discontinuamente. Aplicando isso ao nosso caso, com
e
, como
é contínua em
e
, concluímos que existe algum
tal que
ou seja,
Passo 6
Comentário prático (para você aplicar em provas): quando precisar mostrar existência de raiz num intervalo e a função for polinomial (ou outra função contínua), calcule
nas extremidades do intervalo; se os sinais forem opostos, use o teorema acima. Se quiser localizar numericamente a raiz, pode aplicar o método da bissecção: dividir o intervalo ao meio, avaliar
no ponto médio e escolher o subintervalo onde ocorre a troca de sinal, e assim por diante, até a precisão desejada.
Resposta
Existe
tal que
.