Mostre que existe um número c \in(1,2) tal que
c^{3}-4 c+1=0
Solução. Defina
f(x)=x^{3}-4 x+1 .
Essa função é contínua em [ 1,2 ], por ser polinomial. Calculando:
f(1)=1-4+1=-2,
f(2)=8-8+1=1
Como f(1)<0 e f(2)>0, o valor 0 está entre os valores assumidos nos extremos do intervalo. Portanto, pelo Teorema do Valor Intermediário, existe c \in(1,2) tal que
f\text{(c)}=0
Assim,
c^{3}-4 c+1=0 \text { possui ao menos uma solução em }(1,2) .çã

Passo 1

O que o enunciado pede: mostrar que existe um número c em (1,2) tal que
c^{3}-4c+1=0.
Informações dadas ou implicadas no enunciado:
  • Há um intervalo fechado [1,2] onde devemos procurar a solução.
  • A expressão que deve ficar igual a zero é x^{3}-4x+1.
  • Não foram fornecidos valores adicionais; apenas é preciso provar a existência de pelo menos uma raiz em (1,2).

Passo 2

Definimos a função que vamos estudar:
f(x)=x^{3}-4x+1.
Explicação sobre continuidade (passo didático): uma função é contínua em um ponto a se o valor da função naquele ponto é igual ao limite quando x se aproxima de a. Polinômios são formados por somas e produtos de potências de x com constantes; operações essas que preservam continuidade. Portanto, polinômios são contínuos em todo \mathbb{R}. Em particular, f é contínua no intervalo [1,2].

Passo 3

Agora calculamos o valor de f no extremo esquerdo x=1:
f(1)=1^{3}-4\cdot1+1=1-4+1=-2.
Mostrei passo a passo a aritmética: 1^{3}=1, multiplicando 4\cdot1=4, somando os termos obtemos -2.

Passo 4

Calculamos o valor de f no extremo direito x=2:
f(2)=2^{3}-4\cdot2+1=8-8+1=1.
Novamente fiz as operações em ordem: 2^{3}=8, 4\cdot2=8, e a soma final dá 1.

Passo 5

Observando os sinais obtidos:
f(1)=-2<0\qquad\text{e}\qquad f(2)=1>0.
Agora a ideia teórica (explicada): existe um teorema que diz o seguinte — se uma função é contínua em [a,b] e assume valores com sinais opostos em a e b (isto é, f(a)\cdot f(b)<0), então existe pelo menos um ponto c\in(a,b) tal que f\text{(c)}=0. Intuição simples: uma função contínua que vai de um valor negativo a um valor positivo tem de “passar por” zero em algum ponto entre eles, porque não pode saltar discontinuamente. Aplicando isso ao nosso caso, com a=1 e b=2, como f é contínua em [1,2] e f(1)<0<f(2), concluímos que existe algum c\in(1,2) tal que
f\text{(c)}=0,
ou seja,
c^{3}-4c+1=0.

Passo 6

Comentário prático (para você aplicar em provas): quando precisar mostrar existência de raiz num intervalo e a função for polinomial (ou outra função contínua), calcule f nas extremidades do intervalo; se os sinais forem opostos, use o teorema acima. Se quiser localizar numericamente a raiz, pode aplicar o método da bissecção: dividir o intervalo ao meio, avaliar f no ponto médio e escolher o subintervalo onde ocorre a troca de sinal, e assim por diante, até a precisão desejada.

Resposta

Existe c\in(1,2) tal que c^{3}-4c+1=0.

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