Para as funções abaixo,
a) determine a equação da reta tangente em cada um dos pontos dados.
b) existe algum ponto em que a reta tangente ao gráfico é horizontal?
c) Opcional: faça um esboço do gráfico e das retas tangentes calculadas no item (a). Pode ser feito com o auxílio do computador, usando um software de computação científica, tipo Geogebra.
f(x)=1 / 3 x^{3}-2 x^{2}+4 x, pontos x=0 e x=3.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x) = \tfrac{1}{3}x^{3} - 2x^{2} + 4x
e pede:
a) as equações das retas tangentes em x=0 e x=3;
b) se existe ponto em que a reta tangente é horizontal;
vamos usar a derivada f'(x) e a fórmula ponto-inclinação
y - f(a) = f'(a)\,(x - a).

Passo 2

Calculamos a derivada termo a termo (regra do poder):
derivada de \tfrac{1}{3}x^{3} é x^{2}, de -2x^{2} é -4x, de 4x é 4.
f'(x) = x^{2} - 4x + 4.

Passo 3

Em x=0:
f'(0) = 0^{2} - 4\cdot0 + 4 = 4,
f(0) = \tfrac{1}{3}\cdot0^{3} -2\cdot0^{2} +4\cdot0 = 0.
Ponto-inclinação dá
y - 0 = 4\,(x - 0) \quad\Longrightarrow\quad y = 4x.

Passo 4

Em x=3:
f'(3) = 3^{2} - 4\cdot3 + 4 = 1,
f(3) = \tfrac{1}{3}\cdot27 -2\cdot9 +4\cdot3 = 9 -18 +12 = 3.
Logo
y - 3 = 1\,(x - 3) \quad\Longrightarrow\quad y = x.

Passo 5

Para tangente horizontal, impomos f'(x)=0:
x^{2} -4x +4 = 0 \quad\Longrightarrow\quad (x-2)^{2} = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = 2.
Nesse ponto
f(2) = \tfrac{1}{3}\cdot8 -2\cdot4 +4\cdot2 = \tfrac{8}{3},
portanto a reta tangente é horizontal em \bigl(2,\tfrac{8}{3}\bigr).

Resposta

a) Em x=0: y = 4x.
Em x=3: y = x.
b) Sim. A reta tangente é horizontal em x=2, no ponto \bigl(2,\tfrac{8}{3}\bigr).
c) Pode-se esboçar o gráfico de f e as retas em software como Geogebra.

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