Seja
duda por
. Mostre que
,
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a função f definida por f(x)=\sqrt{x}, no domínio [1,\infty), é Lipschitz com constante 1/2, ou seja, satisfaz |f(x)–f(y)|\le (1/2)|x–y|.
Passo 2
Para isso vamos usar o Teorema de Rolle e, mais especificamente, o Teorema do Valor Médio: se uma função é contínua em [a,b] e derivável em (a,b), então existe c em (a,b) tal que
Passo 3
Calculamos a derivada de f: em qualquer t>0
Passo 4
No nosso caso t\in[1,\infty), logo
Passo 5
Aplicando o Teorema do Valor Médio a f em x e y (com x>y ou y>x, não importa), existe c entre x e y tal que
Tomando módulo e usando f’©\le 1/2, obtemos
que é justamente o que queríamos demonstrar.
Resposta
|f(x)-f(y)| \le \tfrac{1}{2},|x-y| para todo x,y\in[1,\infty).