Seja f:[1, infty) R duda por f(x)=raizx. Mostre que
(1.0 p)|f(x)-f(y)| <= 12|x-y|, forall x, y in[1, infty),

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função f definida por f(x)=\sqrt{x}, no domínio [1,\infty), é Lipschitz com constante 1/2, ou seja, satisfaz |f(x)–f(y)|\le (1/2)|x–y|.

Passo 2

Para isso vamos usar o Teorema de Rolle e, mais especificamente, o Teorema do Valor Médio: se uma função é contínua em [a,b] e derivável em (a,b), então existe c em (a,b) tal que
f(b) - f(a) = f'(c),(b - a)

Passo 3

Calculamos a derivada de f: em qualquer t>0
f'(t) = ddtl(raiztr) = 12raizt

Passo 4

No nosso caso t\in[1,\infty), logo
0 < f'(t) = 12raizt <= 12

Passo 5

Aplicando o Teorema do Valor Médio a f em x e y (com x>y ou y>x, não importa), existe c entre x e y tal que
f(x)-f(y) = f'(c),(x-y)
Tomando módulo e usando f’©\le 1/2, obtemos
|f(x)-f(y)| = |f'(c)|,|x-y| <= 12|x-y|,
que é justamente o que queríamos demonstrar.

Resposta

|f(x)-f(y)| \le \tfrac{1}{2},|x-y| para todo x,y\in[1,\infty).

Exercícios relacionados