Mostre que a equação diferencial dada tem um ponto singular regular em
.
Encontre a solução em série correspondente, dependendo do caso (raízes repetidas, raízes diferentes com diferença sendo um inteiro ou raízes diferentes com diferença sendo diferente de um inteiro).
Encontre a solução em série correspondente, dependendo do caso (raízes repetidas, raízes diferentes com diferença sendo um inteiro ou raízes diferentes com diferença sendo diferente de um inteiro).
Passo 1
Estamos olhando a equação
o que nos diz que o ponto
pode ser singular. O conteúdo aqui é a aplicação do método de Frobenius para pontos singulares regulares.
Passo 2
Reescrevemos na forma padrão
onde dividimos por
. Fica
ou seja
Como
é analítica em
e
também, o ponto
é singular regular.
Passo 3
Assumimos uma solução do tipo de Frobenius
com
. Calculamos
Subtraindo, igualando termo a termo em
leva à equação do indicial
e, para
, à recorrência
Passo 4
Resolvendo o indicial temos
Como
não é inteiro, estamos no caso de duas raízes distintas cuja diferença não é inteiro.
Passo 5
A recorrência dos coeficientes fica então para cada escolha de
com
arbitrário. Para fixar a normalização, tomamos
em cada série.
Passo 6
Concluímos que existem duas soluções linearmente independentes em série de Frobenius em torno de
:
onde os
satisfazem a recorrência acima.
Passo 7
As duas séries formam a base geral do espaço de soluções para
em
.
Resposta
As soluções em série de Frobenius em torno de
são
onde ambos os conjuntos de coeficientes
satisfazem
com
e
. A diferença das raízes não é inteira, garantindo duas soluções independentes.