Mostre que a equação diferencial dada tem um ponto singular regular em x0.
Encontre a solução em série correspondente, dependendo do caso (raízes repetidas, raízes diferentes com diferença sendo um inteiro ou raízes diferentes com diferença sendo diferente de um inteiro).
x^2 y^prime prime-(x-29) y=0, x0=0

Passo 1

Estamos olhando a equação
x^2y'' - l(x - 29r)y = 0,
o que nos diz que o ponto x0=0 pode ser singular. O conteúdo aqui é a aplicação do método de Frobenius para pontos singulares regulares.

Passo 2

Reescrevemos na forma padrão
y'' + p(x)y' + q(x)y = 0,
onde dividimos por x^2. Fica
y'' - x - tfrac29x^2,y = 0,
ou seja
p(x)=0,
q(x) = -xx^2 + 2/9x^2 = -1x + 29x^2
Como xp(x)=0 é analítica em x=0 e x^2q(x)=2/9 também, o ponto x=0 é singular regular.

Passo 3

Assumimos uma solução do tipo de Frobenius
y(x) = sumn=0^inftyanx^n+r,
com a0neq0. Calculamos
x^2y'' = sumn=0^inftyan(n+r)(n+r-1)x^n+r,
l(x-tfrac29r)y = sumn=0^inftyanx^n+r+1 - 29sumn=0^inftyanx^n+r
Subtraindo, igualando termo a termo em x^n+r leva à equação do indicial
a0l[r(r-1) + tfrac29r] = 0
e, para n>=1, à recorrência
anl[(n+r)(n+r-1)+tfrac29r] = an-1

Passo 4

Resolvendo o indicial temos
r(r-1) + 29 = 0
r = 1pmtfrac132 implies r1=tfrac23, r2=tfrac13
Como r1-r2=tfrac13 não é inteiro, estamos no caso de duas raízes distintas cuja diferença não é inteiro.

Passo 5

A recorrência dos coeficientes fica então para cada escolha de r
an = an-1(n+r)(n+r-1)+tfrac29,
com a0 arbitrário. Para fixar a normalização, tomamos a0=1 em cada série.

Passo 6

Concluímos que existem duas soluções linearmente independentes em série de Frobenius em torno de x=0:
y1(x) = x^2/3sumn=0^infty an^(1),x^n,
y2(x) = x^1/3sumn=0^infty an^(2),x^n,
onde os an^(i) satisfazem a recorrência acima.

Passo 7

As duas séries formam a base geral do espaço de soluções para x^2y''-(x-2/9)y=0 em x=0.

Resposta

As soluções em série de Frobenius em torno de x=0 são
y1(x) = x^2/3sumn=0^inftyan^(1),x^n,
y2(x) = x^1/3sumn=0^inftyan^(2),x^n,
onde ambos os conjuntos de coeficientes an^(i)n>=0 satisfazem
a0^(i)=1, an^(i) = an-1^(i)(n+ri)(n+ri-1) + tfrac29,
com r1=2/3 e r2=1/3. A diferença das raízes não é inteira, garantindo duas soluções independentes.

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