Mostre que a equação diferencial é simultaneamente EXATA e HOMOGÊNIA.
Resolva as equações.
Resolva as equações.
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que a equação
é ao mesmo tempo exata e homogênea e depois resolver essa EDO. Para isso vamos usar conhecimentos de equações exatas (verificar ∂M/∂y = ∂N/∂x e encontrar função potencial) e de homogêneas (testar escala).
Passo 2
Identificamos as funções
e
. Calculando as derivadas parciais temos:
Como
Passo 3
Agora checamos a homogeneidade. Seja
um escalar. Então:
Passo 4
Isso mostra que ambos são homogêneos de grau 2, logo a EDO é homogênea.
Passo 5
Como a equação é exata, buscamos uma função potencial
tal que
Passo 6
Integramos em relação a
:
Passo 7
onde
é uma função arbitrária de
.
Passo 8
Para determinar
, usamos
Passo 9
Logo
e assim
(constante). Portanto a solução implícita geral é
Passo 10
Multiplicando tudo por 3 para simplificar a escrita, temos
Resposta
x^{3} + 3xy^{2} = C’}