Mostre que a equação diferencial é simultaneamente EXATA e HOMOGÊNIA.
(x^2+y^2) d x+2 x y d y=0
Resolva as equações.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que a equação (x^2+y^2),dx + 2xy,dy = 0 é ao mesmo tempo exata e homogênea e depois resolver essa EDO. Para isso vamos usar conhecimentos de equações exatas (verificar ∂M/∂y = ∂N/∂x e encontrar função potencial) e de homogêneas (testar escala).

Passo 2

Identificamos as funções M(x,y) = x^2 + y^2 e N(x,y) = 2xy. Calculando as derivadas parciais temos:
partial Mpartial y = 2y, partial Npartial x = 2y
Como partial M/partial y = partial N/partial x, a equação é exata.

Passo 3

Agora checamos a homogeneidade. Seja lambda um escalar. Então:
M(lambda x,lambda y) = (lambda x)^2 + (lambda y)^2 = lambda^2(x^2+y^2) = lambda^2M(x,y),
N(lambda x,lambda y) = 2(lambda x)(lambda y) = lambda^2(2xy) = lambda^2N(x,y)

Passo 4

Isso mostra que ambos são homogêneos de grau 2, logo a EDO é homogênea.

Passo 5

Como a equação é exata, buscamos uma função potencial Phi(x,y) tal que
partial Phipartial x = M(x,y) = x^2 + y^2

Passo 6

Integramos em relação a x:
Phi(x,y) = integral (x^2+y^2),dx = x^33 + x y^2 + h(y),

Passo 7

onde h(y) é uma função arbitrária de y.

Passo 8

Para determinar h(y), usamos
partial Phipartial y = 2xy + h'(y) stackrel!= N(x,y) = 2xy

Passo 9

Logo h'(y)=0 e assim h(y)=C (constante). Portanto a solução implícita geral é
Phi(x,y) = x^33 + x y^2 = C

Passo 10

Multiplicando tudo por 3 para simplificar a escrita, temos
x^3 + 3xy^2 = C',que é a solução geral da equação.

Resposta

x^{3} + 3xy^{2} = C’}

Exercícios relacionados