Dê uma solução da EDO
tal que satisfaça a condição inicial
para
.
Passo 1
Então, a gente tem uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) que é
. A gente precisa encontrar uma solução para essa equação que passe pelo ponto onde
quando
. Para resolver isso, vamos verificar se a equação é exata e, se for, encontrar a função potencial que nos dará a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os termos
e
da equação. Aqui, temos:
Passo 3
Agora, precisamos verificar se a equação é exata. Para isso, calculamos as derivadas parciais de
em relação a
e de
em relação a
:
Passo 4
Como
, a equação é exata. Isso significa que existe uma função
tal que:
Passo 5
Vamos encontrar a função
integrando
em relação a
:
Aqui,
Passo 6
Agora, vamos derivar
em relação a
e igualar a
para encontrar
:
Isso implica que:
Integrando isso em relação a
:
Onde
Passo 7
Então, a função potencial completa é:
Como a equação é igual a zero, temos:
Passo 8
Agora, vamos usar a condição inicial
quando
para encontrar o valor de
:
Resposta
A solução da EDO que satisfaz a condição inicial é: