Dê uma solução da EDO (2 x y^3+8 x) d x+(3 x^2 y^2+5) d y=0 tal que satisfaça a condição inicial y=-1 para x=2.

Passo 1

Então, a gente tem uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) que é (2xy^3 + 8x) dx + (3x^2 y^2 + 5) dy = 0. A gente precisa encontrar uma solução para essa equação que passe pelo ponto onde y = -1 quando x = 2. Para resolver isso, vamos verificar se a equação é exata e, se for, encontrar a função potencial que nos dará a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os termos M(x, y) e N(x, y) da equação. Aqui, temos:
M(x, y) = 2xy^3 + 8x
N(x, y) = 3x^2 y^2 + 5

Passo 3

Agora, precisamos verificar se a equação é exata. Para isso, calculamos as derivadas parciais de M em relação a y e de N em relação a x:
partial Mpartial y = 6xy^2
partial Npartial x = 6xy^2

Passo 4

Como partial Mpartial y = partial Npartial x, a equação é exata. Isso significa que existe uma função F(x, y) tal que:
partial Fpartial x = M(x, y)
partial Fpartial y = N(x, y)

Passo 5

Vamos encontrar a função F(x, y) integrando M(x, y) em relação a x:
F(x, y) = integral (2xy^3 + 8x) dx = x^2 y^3 + 4x^2 + h(y)
Aqui, h(y) é uma função que depende apenas de y.

Passo 6

Agora, vamos derivar F(x, y) em relação a y e igualar a N(x, y) para encontrar h(y):
partial Fpartial y = 3x^2 y^2 + h'(y)
3x^2 y^2 + h'(y) = 3x^2 y^2 + 5
Isso implica que:
h'(y) = 5
Integrando isso em relação a y:
h(y) = 5y + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 7

Então, a função potencial completa é:
F(x, y) = x^2 y^3 + 4x^2 + 5y + C
Como a equação é igual a zero, temos:
x^2 y^3 + 4x^2 + 5y = C

Passo 8

Agora, vamos usar a condição inicial y = -1 quando x = 2 para encontrar o valor de C:
(2)^2 (-1)^3 + 4(2)^2 + 5(-1) = C
4(-1) + 16 - 5 = C
-4 + 16 - 5 = C
7 = C

Resposta

A solução da EDO que satisfaz a condição inicial é:
x^2 y^3 + 4x^2 + 5y = 7

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