Esboce o gráfico de uma função f que satisfaça todas as condições a seguir:
  • Dom f=R
  • f(-3)=f(0)=3
  • f(-2)=f(3)=1
  • lim x 0^+ f(x)=-2
  • f^prime<0 em (-3,-2) cup(2,3)
  • f^prime prime<0 em (-infty,-4) cup(1,3) cup(3, infty)
  • f^prime é contínua em R--3,0,3
  • f(-4)=f(1)=0 ; f(2)=4
  • lim x -3^+ f(x)=infty ; lim x infty f(x)=3
  • f^prime>0 em(-infty,-3) cup(-2,0) cup(0,2) cup(3, infty)
  • f^prime prime>0 em(-4,-3) cup(-3,0) cup(0,1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar o gráfico de uma função $ f $ que atende a várias condições dadas. Para isso, vamos usar conceitos de domínio de função, valores específicos, limites, derivadas primeiras e segundas, além de entender o comportamento da função em diferentes intervalos. Basicamente, vamos analisar cada condição uma por uma para montar o gráfico certinho.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o domínio da função. A condição Dom f = R diz que a função está definida para todos os números reais. Então, o gráfico vai se estender indefinidamente para a esquerda e para a direita.

Passo 3

Agora, vamos marcar os pontos específicos no gráfico:
  • $ f(-3) = 3 $
  • $ f(0) = 3 $
  • $ f(-2) = 1 $
  • $ f(3) = 1 $
  • $ f(-4) = 0 $
  • $ f(1) = 0 $
  • $ f(2) = 4 $
Esses pontos vão nos ajudar a posicionar o gráfico em locais chave.

Passo 4

Vamos analisar os limites:
  • lim x 0^+ f(x) = -2: Isso significa que, quando $ x $ se aproxima de 0 pela direita, $ f(x) $ se aproxima de -2.
  • x : Quando $ x $ se aproxima de -3 pela direita, $ f(x) $ vai para o infinito.
  • f(x) : À medida que $ x $ vai para o infinito, $ f(x) $ se aproxima de 3.
Esses comportamentos nos ajudam a entender como a função se comporta perto desses pontos e no infinito.

Passo 5

Vamos ver a derivada primeira ($ f’ $):
  • $ f’ < 0 $ em $ (-3, -2) $ e $ (2, 3) $: A função está decrescendo nesses intervalos.
  • $ f’ > 0 $ em $ (-\infty, -3) $, $ (-2, 0) $, $ (0, 2) $ e $ (3, \infty) $: A função está crescendo nesses intervalos.
Isso nos ajuda a desenhar se o gráfico está subindo ou descendo em diferentes partes.

Passo 6

Agora, a derivada segunda ($ f’’ $):
  • $ f’’ < 0 $ em $ (-\infty, -4) $, $ (1, 3) $ e $ (3, \infty) $: A concavidade do gráfico é para baixo nesses intervalos.
  • $ f’’ > 0 $ em $ (-4, -3) $, $ (-3, 0) $ e $ (0, 1) $: A concavidade é para cima nesses intervalos.
Isso indica onde o gráfico está “curvado” para cima ou para baixo.

Passo 7

Vamos garantir que a derivada $ f’ $ seja contínua em $ \mathbb{R} - {-3, 0, 3} $. Isso significa que não há quebras na inclinação da função nesses intervalos.

Passo 8

Com todas essas informações, podemos começar a esboçar o gráfico:
  • Começamos em $ x = -4 $ com $ f(-4) = 0 $ e a função está crescente até $ x = -3 $, onde sobe para o infinito.
  • Entre $ -3 $ e $ -2 $, a função está decrescendo de volta para $ f(-2) = 1 $.
  • De $ -2 $ a $ 0 $, a função está crescendo novamente até $ f(0) = 3 $. Perto de 0 pela direita, ela desce para -2.
  • De $ 0 $ a $ 1 $, cresce até $ f(1) = 0 $.
  • De $ 1 $ a $ 2 $, cresce até $ f(2) = 4 $.
  • De $ 2 $ a $ 3 $, a função está decrescendo de volta para $ f(3) = 1 $.
  • Para $ x > 3 $, a função se estabiliza em 3 conforme $ x $ vai para o infinito.

Passo 9

Analisando a concavidade:
  • De $ -\infty $ a $ -4 $: Concavidade para baixo.
  • De $ -4 $ a $ -3 $: Concavidade para cima.
  • De $ -3 $ a $ 0 $: Concavidade para cima.
  • De $ 0 $ a $ 1 $: Concavidade para cima.
  • De $ 1 $ a $ 3 $: Concavidade para baixo.
  • De $ 3 $ em diante: Concavidade para baixo.
Isso ajuda a moldar as curvas do gráfico.

Passo 10

Finalmente, juntando todos esses pedaços, conseguimos esboçar um gráfico que atende a todas as condições fornecidas. O gráfico terá pontos de inflexão conforme a concavidade muda, aumentará e diminuirá nos intervalos especificados, e atenderá aos limites e valores dados.

Resposta

O gráfico da função $ f $ satisfazendo todas as condições apresentadas é esboçado conforme os passos acima, mostrando os pontos específicos, intervalos de crescimento e decrescimento, concavidades e comportamentos nos limites definidos.

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