Esboce o gráfico de uma função
que satisfaça todas as condições a seguir:
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em
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em
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é contínua em
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar o gráfico de uma função $ f $ que atende a várias condições dadas. Para isso, vamos usar conceitos de domínio de função, valores específicos, limites, derivadas primeiras e segundas, além de entender o comportamento da função em diferentes intervalos. Basicamente, vamos analisar cada condição uma por uma para montar o gráfico certinho.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para o domínio da função. A condição
diz que a função está definida para todos os números reais. Então, o gráfico vai se estender indefinidamente para a esquerda e para a direita.
Passo 3
Agora, vamos marcar os pontos específicos no gráfico:
- $ f(-3) = 3 $
- $ f(0) = 3 $
- $ f(-2) = 1 $
- $ f(3) = 1 $
- $ f(-4) = 0 $
- $ f(1) = 0 $
- $ f(2) = 4 $
Esses pontos vão nos ajudar a posicionar o gráfico em locais chave.
Passo 4
Vamos analisar os limites:
-
: Isso significa que, quando $ x $ se aproxima de 0 pela direita, $ f(x) $ se aproxima de -2. -
: Quando $ x $ se aproxima de -3 pela direita, $ f(x) $ vai para o infinito. -
: À medida que $ x $ vai para o infinito, $ f(x) $ se aproxima de 3.
Esses comportamentos nos ajudam a entender como a função se comporta perto desses pontos e no infinito.
Passo 5
Vamos ver a derivada primeira ($ f’ $):
- $ f’ < 0 $ em $ (-3, -2) $ e $ (2, 3) $: A função está decrescendo nesses intervalos.
- $ f’ > 0 $ em $ (-\infty, -3) $, $ (-2, 0) $, $ (0, 2) $ e $ (3, \infty) $: A função está crescendo nesses intervalos.
Isso nos ajuda a desenhar se o gráfico está subindo ou descendo em diferentes partes.
Passo 6
Agora, a derivada segunda ($ f’’ $):
- $ f’’ < 0 $ em $ (-\infty, -4) $, $ (1, 3) $ e $ (3, \infty) $: A concavidade do gráfico é para baixo nesses intervalos.
- $ f’’ > 0 $ em $ (-4, -3) $, $ (-3, 0) $ e $ (0, 1) $: A concavidade é para cima nesses intervalos.
Isso indica onde o gráfico está “curvado” para cima ou para baixo.
Passo 7
Vamos garantir que a derivada $ f’ $ seja contínua em $ \mathbb{R} - {-3, 0, 3} $. Isso significa que não há quebras na inclinação da função nesses intervalos.
Passo 8
Com todas essas informações, podemos começar a esboçar o gráfico:
- Começamos em $ x = -4 $ com $ f(-4) = 0 $ e a função está crescente até $ x = -3 $, onde sobe para o infinito.
- Entre $ -3 $ e $ -2 $, a função está decrescendo de volta para $ f(-2) = 1 $.
- De $ -2 $ a $ 0 $, a função está crescendo novamente até $ f(0) = 3 $. Perto de 0 pela direita, ela desce para -2.
- De $ 0 $ a $ 1 $, cresce até $ f(1) = 0 $.
- De $ 1 $ a $ 2 $, cresce até $ f(2) = 4 $.
- De $ 2 $ a $ 3 $, a função está decrescendo de volta para $ f(3) = 1 $.
- Para $ x > 3 $, a função se estabiliza em 3 conforme $ x $ vai para o infinito.
Passo 9
Analisando a concavidade:
- De $ -\infty $ a $ -4 $: Concavidade para baixo.
- De $ -4 $ a $ -3 $: Concavidade para cima.
- De $ -3 $ a $ 0 $: Concavidade para cima.
- De $ 0 $ a $ 1 $: Concavidade para cima.
- De $ 1 $ a $ 3 $: Concavidade para baixo.
- De $ 3 $ em diante: Concavidade para baixo.
Isso ajuda a moldar as curvas do gráfico.
Passo 10
Finalmente, juntando todos esses pedaços, conseguimos esboçar um gráfico que atende a todas as condições fornecidas. O gráfico terá pontos de inflexão conforme a concavidade muda, aumentará e diminuirá nos intervalos especificados, e atenderá aos limites e valores dados.
Resposta
O gráfico da função $ f $ satisfazendo todas as condições apresentadas é esboçado conforme os passos acima, mostrando os pontos específicos, intervalos de crescimento e decrescimento, concavidades e comportamentos nos limites definidos.