a) Mostre que se a equação
tem infinitas soluções reais, então a equação
também tem infinitas soluções reais.
Passo 1
O enunciado quer que mostremos que, se a equação
admite infinitas soluções reais, então também a equação
terá infinitas soluções reais. O resultado chave que vamos usar é o Teorema de Rolle:
Seja
contínua em
, derivável em
e
. Então existe algum
tal que
.
Passo 2
Como
tem infinitas soluções reais, existe uma sequência infinita de pontos
tais que
para todo
. Essa sequência pode não estar ordenada, mas um lema clássico (“qualquer sequência real infinita tem uma subsequência monótona”) garante que podemos extrair dela uma subsequência estritamente crescente, ainda infinita. Logo, sem perda de generalidade, consideramos
com
para todo
.
Passo 3
Agora, em cada intervalo
temos
Como
é contínua em
e derivável em
, o Teorema de Rolle garante que existe ao menos um ponto
tal que
Passo 4
Os intervalos
são disjuntos (pois
, etc.), logo os pontos
são todos distintos. Assim obtemos uma infinidade de soluções distintas de
.
Resposta
Mostramos que, dado que
tem infinitas soluções, construímos uma sequência infinita
de pontos com
. Portanto, a equação
também tem infinitas soluções reais.