a) Mostre que se a equação f(x)=0 tem infinitas soluções reais, então a equação f^prime(x)=0 também tem infinitas soluções reais.

Passo 1

O enunciado quer que mostremos que, se a equação f(x)=0 admite infinitas soluções reais, então também a equação f'(x)=0 terá infinitas soluções reais. O resultado chave que vamos usar é o Teorema de Rolle:
Seja g contínua em [a,b], derivável em (a,b) e g(a)=g(b). Então existe algum cin(a,b) tal que g'(c)=0.

Passo 2

Como f(x)=0 tem infinitas soluções reais, existe uma sequência infinita de pontos xnn=1^infty tais que f(xn)=0 para todo n. Essa sequência pode não estar ordenada, mas um lema clássico (“qualquer sequência real infinita tem uma subsequência monótona”) garante que podemos extrair dela uma subsequência estritamente crescente, ainda infinita. Logo, sem perda de generalidade, consideramos
x1 < x2 < x3 < cdots,
com f(xn)=0 para todo n.

Passo 3

Agora, em cada intervalo [xn, xn+1] temos
f(xn)=0=f(xn+1)
Como f é contínua em [xn,xn+1] e derivável em (xn,xn+1), o Teorema de Rolle garante que existe ao menos um ponto
cn in (xn, xn+1)
tal que
f'(cn)=0

Passo 4

Os intervalos (xn,xn+1) são disjuntos (pois xn<xn+1<xn+2, etc.), logo os pontos cn são todos distintos. Assim obtemos uma infinidade de soluções distintas de f'(x)=0.

Resposta

Mostramos que, dado que f(x)=0 tem infinitas soluções, construímos uma sequência infinita cn de pontos com f'(cn)=0. Portanto, a equação f'(x)=0 também tem infinitas soluções reais.

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