Resolva as seguintes equações:
|x|+2|x-2|=1+4 x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação com valores absolutos
|x| + 2|x-2| = 1 + 4x
O conteúdo é equações com valor absoluto. Para resolver, vamos dividir o domínio em subintervalos onde os módulos se tornam expressões lineares, usando
|x| = -x, & x<0, x, & x>=0, |x-2| = 2-x, & x<2, x-2, & x>=2

Passo 2

Caso x<0:
|x| = -x, |x-2| = 2-x
Substituindo na equação:
-x + 2(2-x) = 1 + 4x Longrightarrow -x + 4 - 2x = 1 + 4x Longrightarrow -3x + 4 = 1 + 4x
-3x -4x = 1 -4 Longrightarrow -7x = -3 Longrightarrow x = 37
Mas tfrac37approx0,4286 não está em x<0, logo sem solução neste caso.

Passo 3

Caso 0 <= x < 2:
|x| = x, |x-2| = 2-x
Substituindo:
x + 2(2-x) = 1 + 4x Longrightarrow x + 4 - 2x = 1 + 4x Longrightarrow -,x + 4 = 1 + 4x
-,x -4x = 1 -4 Longrightarrow -5x = -3 Longrightarrow x = 35
Verificamos que tfrac35=0,6 pertence a [0,2), então é solução válida.

Passo 4

Caso x >= 2:
|x| = x, |x-2| = x-2
Substituindo:
x + 2(x-2) = 1 + 4x Longrightarrow x + 2x -4 = 1 + 4x Longrightarrow 3x -4 = 1 + 4x
3x -4x = 1 +4 Longrightarrow -,x = 5 Longrightarrow x = -5
Mas -5 não pertence a [2,infty), logo sem solução neste caso.

Resposta

A única solução da equação é
x = 35

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