Usando coordenadas polares calcule
, onde
é a região que está no primeiro quadrante e entre as circunferências
e
.
a) -30
b)
C)
d) 30
e) 0
a) -30
b)
C)
d) 30
e) 0
Passo 1
Então, o exercício pede pra calcular
onde
é a região no primeiro quadrante entre as circunferências
e
.
Matéria: integração dupla em coordenadas polares.
O que precisamos lembrar:
Matéria: integração dupla em coordenadas polares.
O que precisamos lembrar:
- Em coordenadas polares,
e . - O diferencial de área vira
(o famoso jacobiano). - Os limites: primeiro quadrante significa
de a ; entre raios 1 e 2 significa de a .
Passo 2
Vamos trocar tudo em função de
e
:
e
Então o integrando completo fica
Passo 3
Colocando os limites que definimos:
Passo 4
Note que
é um produto de função só de
por função só de
.
Pela regra de Fubini, dá pra separar assim:
Pela regra de Fubini, dá pra separar assim:
Passo 5
Calcular a parte em
:
Passo 6
Calcular a parte em
theta :
Usamos
u = sintheta , então
du = costheta,dtheta .
Quandotheta=0 ,
u=0 ; quando
theta=pi/2 ,
u=1 .
Fica
Quando
Fica
Passo 7
Agora é só multiplicar os dois resultados: