Usando coordenadas polares calcule
integral duplaR x y d A, onde R é a região que está no primeiro quadrante e entre as circunferências x^2+y^2=1 e x^2+y^2=4.
a) -30
b) -158
C) 158
d) 30
e) 0

Passo 1

Então, o exercício pede pra calcular
integral duplaR x,y ,dA,
onde R é a região no primeiro quadrante entre as circunferências x^2+y^2=1 e x^2+y^2=4.
Matéria: integração dupla em coordenadas polares.
O que precisamos lembrar:
  1. Em coordenadas polares, x = rcostheta e y = rsintheta.
  2. O diferencial de área vira dA = r,dr,dtheta (o famoso jacobiano).
  3. Os limites: primeiro quadrante significa theta de 0 a tfracpi2; entre raios 1 e 2 significa r de 1 a 2.

Passo 2

Vamos trocar tudo em função de r e theta:
x,y = (rcostheta),(rsintheta) = r^2costhetasintheta
e
dA = r,dr,dtheta
Então o integrando completo fica
x,y,dA = r^2costhetasintheta;times;r,dr,dtheta = r^3costhetasintheta,dr,dtheta

Passo 3

Colocando os limites que definimos:
integral duplaR x,y,dA = integraltheta=0^pi/2integralr=1^2 r^3costhetasintheta ,dr,dtheta

Passo 4

Note que r^3costhetasintheta é um produto de função só de r por função só de theta.
Pela regra de Fubini, dá pra separar assim:
integral0^pi/2!!integral1^2 r^3costhetasintheta ,dr,dtheta = l(!integral1^2r^3,drr);times;l(!integral0^pi/2costhetasintheta,dthetar)

Passo 5

Calcular a parte em r:
integral1^2r^3,dr ;=;r^44|1^2 ;=;2^44-1^44 ;=;16-14 ;=;154

Passo 6

Calcular a parte em theta:
integral0^pi/2costhetasintheta,dtheta
Usamos u = sintheta, então du = costheta,dtheta.
Quando theta=0, u=0; quando theta=pi/2, u=1.
Fica
integral0^1u,du =u^22|0^1 =12

Passo 7

Agora é só multiplicar os dois resultados:
154times12 = 158

Resposta

158.

Exercícios relacionados