Mostre que a equação é homogênea e encontre a solução
  • d. (y^{\prime}=\frac{2 x y}{x{2}-y{2}} \quad R: x{2}+y{2}=k y

Passo 1

Neste exercício temos a equação diferencial ordinária y' = 2xyx^2 - y^2. Queremos mostrar que ela é homogênea e encontrar a solução geral. Para isso, usaremos propriedades de funções homogêneas e a substituição y = vx.

Passo 2

Mostrar que o termo f(x,y) = 2xyx^2 - y^2 é homogêneo de grau zero. Observamos que o numerador 2xy e o denominador x^2 - y^2 são homogêneos de grau 2, logo a razão é grau 2-2=0. Isso confirma a homogeneidade.

Passo 3

Aplicar a substituição y = vx. Então y' = v + xdvdx. Substituindo na EDO obtemos
v + xdvdx = 2x(vx)x^2 - v^2x^2 = 2v1 - v^2
Isolando dv/dx resulta em $ x\frac{dv}{dx} = \frac{2v}{1 - v^2} - v = \frac{v(1+v^2)}{1 - v^2}.$

Passo 4

Separar variáveis:
1 - v^2v(1 + v^2),dv = dxx
Integramos dos dois lados:
integral1 - v^2v(1 + v^2),dv = integraldxx ;Longrightarrow; ln|v| - ln(1+v^2) = ln|x| + C

Passo 5

Retornar à variável original y = vx. Da relação envolvendo logaritmos temos v1+v^2 = Cx. Substituindo v = y/x obtemos
y/x(x^2+y^2)/x^2 = Cx
o que leva a
x^2 + y^2 = 1C,y
Chamando 1C=k, a solução geral é
x^2 + y^2 = k,y

Resposta

x^2 + y^2 = k y

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