Mostre que a equação é homogênea e encontre a solução
- d. (y^{\prime}=\frac{2 x y}{x{2}-y{2}} \quad R: x{2}+y{2}=k y
Passo 1
Neste exercício temos a equação diferencial ordinária
. Queremos mostrar que ela é homogênea e encontrar a solução geral. Para isso, usaremos propriedades de funções homogêneas e a substituição
.
Passo 2
Mostrar que o termo
é homogêneo de grau zero. Observamos que o numerador
e o denominador
são homogêneos de grau 2, logo a razão é grau
. Isso confirma a homogeneidade.
Passo 3
Aplicar a substituição
. Então
. Substituindo na EDO obtemos
Isolando
Passo 4
Separar variáveis:
Integramos dos dois lados:
Passo 5
Retornar à variável original
. Da relação envolvendo logaritmos temos
. Substituindo
obtemos
o que leva a
Chamando
, a solução geral é
Resposta
x^2 + y^2 = k y