Mostre que a equação é homogênea e encontre a solução
  • e. (y{\prime}=\frac{x{2}+y^{2}}{x y} \quad R: y{2}=x{2} \ln x^{2}+k x^{2}

Passo 1

Temos a equação diferencial y' = x^2 + y^2xy. O assunto é equações homogêneas de grau zero e usaremos a definição de homogeneidade e o método de substituição y = vx para resolver.

Passo 2

Definimos f(x,y)=x^2+y^2xy. Para testar homogeneidade, calculamos
f(tx,ty)=(tx)^2+(ty)^2(tx)(ty)=t^2(x^2+y^2)t^2(xy)=x^2+y^2xy=f(x,y),
o que mostra que f é homogênea de grau zero.

Passo 3

Fazemos a troca y=vx. Então
dydx=v+xdvdx
e substituímos em y'=x^2+y^2xy=1+v^2v, obtendo
v+xdvdx=1+v^2v

Passo 4

Reorganizando, temos
xdvdx=1+v^2v-v=1v,
o que separa variáveis em
v,dv=dxx

Passo 5

Integramos ambos os lados:
integral v,dv=integraldxxLongrightarrow12v^2=ln|x|+C
Multiplicando por 2 e definindo C'=2C, vem
v^2=2ln|x|+C'

Passo 6

Voltando a y e x, como v=tfracyx temos
l(tfracyxr)^2=2ln|x|+C'
e usando 2ln|x|=ln(x^2) e k=C', chegamos à solução geral:

Resposta

y^2=x^2ln(x^2)+kx^2

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