Mostre que a equação
é homogênea de grau 2 e em seguida resolva-a.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é a equação diferencial
. Nosso primeiro objetivo é mostrar que essa equação é homogênea de grau 2. Para isso, precisamos entender o que significa uma equação ser homogênea e identificar o grau das funções envolvidas.
Passo 2
Vamos verificar o grau de cada termo na equação. A ideia é que todos os termos tenham o mesmo grau para a equação ser homogênea.
- No termo
, tem grau 2. - No termo
, tem grau 1 e tem grau 1, somando grau 2. - No termo
, tem grau 2.
Como todos os termos têm grau 2, a equação é homogênea de grau 2.
Passo 3
Agora que sabemos que a equação é homogênea, vamos resolver ela usando a substituição
. Isso significa que
. Vamos derivar isso em relação a
:
Substituindo
e
na equação original:
Simplificando:
Dividindo ambos os lados por
:
Rearranjando:
Passo 4
Agora temos uma equação separável. Vamos separar as variáveis
e
:
Integrando ambos os lados:
Onde
é a constante de integração.
Passo 5
Vamos resolver para
:
Multiplicando ambos os lados por -1:
Vamos chamar
de
(uma nova constante):
Lembrando que
, substituímos de volta:
Multiplicando ambos os lados por
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é
, onde
é uma constante arbitrária.