Mostre que a equação (y^2+x y) d x-x^2 d y=0 é homogênea de grau 2 e em seguida resolva-a.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é a equação diferencial (y^2 + x y) dx - x^2 dy = 0 . Nosso primeiro objetivo é mostrar que essa equação é homogênea de grau 2. Para isso, precisamos entender o que significa uma equação ser homogênea e identificar o grau das funções envolvidas.

Passo 2

Vamos verificar o grau de cada termo na equação. A ideia é que todos os termos tenham o mesmo grau para a equação ser homogênea.
  • No termo y^2 dx , y^2 tem grau 2.
  • No termo x y dx , x tem grau 1 e y tem grau 1, somando grau 2.
  • No termo x^2 dy , x^2 tem grau 2.
Como todos os termos têm grau 2, a equação é homogênea de grau 2.

Passo 3

Agora que sabemos que a equação é homogênea, vamos resolver ela usando a substituição v = yx . Isso significa que y = v x . Vamos derivar isso em relação a x :
dydx = v + x dvdx
Substituindo y = v x e dydx na equação original:
((v x)^2 + x (v x)) - x^2 (v + x dvdx) = 0
Simplificando:
(v^2 x^2 + v x^2) - x^2 v - x^3 dvdx = 0
v^2 x^2 + v x^2 - v x^2 - x^3 dvdx = 0
v^2 x^2 - x^3 dvdx = 0
Dividindo ambos os lados por x^2 :
v^2 - x dvdx = 0
Rearranjando:
dvdx = v^2x

Passo 4

Agora temos uma equação separável. Vamos separar as variáveis v e x :
dvv^2 = dxx
Integrando ambos os lados:
integral dvv^2 = integral dxx
- 1v = ln|x| + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 5

Vamos resolver para v :
- 1v = ln|x| + C
Multiplicando ambos os lados por -1:
1v = -ln|x| - C
Vamos chamar -C de C' (uma nova constante):
1v = -ln|x| + C'
v = 1C' - ln|x|
Lembrando que v = yx , substituímos de volta:
yx = 1C' - ln|x|
Multiplicando ambos os lados por x :
y = xC' - ln|x|

Resposta

A solução geral da equação diferencial é y = dfracxC - ln|x| , onde C é uma constante arbitrária.

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