Resolva os problemas de valor incial
\left\{\begin{array}{l}y^{\prime}+x^{4} y=x^{4} e^{\frac{4 x^{5}}{5}} \\\ y(0)=1\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado apresenta o problema de valor inicial
y' + x^{4}y = x^{4}e^{\frac{4x^{5}}{5}},\quad y(0)=1
Este é um EDO linear de primeira ordem. Para resolver, vamos usar o fator integrante.

Passo 2

Calculamos o fator integrante \mu(x) como
\mu(x) = \exp\Bigl(\int x^{4}\,dx\Bigr) = \exp\Bigl(\frac{x^{5}}{5}\Bigr).

Passo 3

Multiplicamos a equação original por \mu(x). Assim,
\exp\Bigl(\tfrac{x^{5}}{5}\Bigr)\,y' + x^{4}\exp\Bigl(\tfrac{x^{5}}{5}\Bigr)\,y = x^{4}e^{\frac{4x^{5}}{5}}\exp\Bigl(\tfrac{x^{5}}{5}\Bigr).
O lado esquerdo é a derivada do produto y\,\exp(\tfrac{x^{5}}{5}), e no lado direito
e^{\frac{4x^{5}}{5}}\exp\Bigl(\tfrac{x^{5}}{5}\Bigr) = e^{\frac{5x^{5}}{5}} = e^{x^{5}}.
Logo,
\frac{d}{dx}\Bigl(y\,e^{\frac{x^{5}}{5}}\Bigr) = x^{4}e^{x^{5}}.

Passo 4

Integramos ambos os lados em relação a x:
y\,e^{\frac{x^{5}}{5}} = \int x^{4}e^{x^{5}}\,dx = \frac{1}{5}e^{x^{5}} + C,
pois em u=x^{5} temos du=5x^{4}dx.
Daí,
y = e^{-\frac{x^{5}}{5}}\Bigl(\tfrac{1}{5}e^{x^{5}} + C\Bigr) = \tfrac{1}{5}e^{\frac{4x^{5}}{5}} + C\,e^{-\frac{x^{5}}{5}}.

Passo 5

Usamos a condição y(0)=1. Em x=0,
1 = \tfrac{1}{5}e^{0} + C\,e^{0} = \tfrac{1}{5} + C \quad\Longrightarrow\quad C = \tfrac{4}{5}.

Resposta

\boxed{ y(x) = \frac{1}{5}\,e^{\frac{4x^{5}}{5}} + \frac{4}{5}\,e^{-\frac{x^{5}}{5}} }.

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