Mostre que a equação representa uma circunferência e determine o centro e o raio.
(16 x^{2}+16 y^{2}+8 x+32 y+1=0)

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: mostrar que a equação representa uma circunferência e determinar o seu centro e o seu raio. A equação dada é
16x^{2}+16y^{2}+8x+32y+1=0.
Informações relevantes fornecidas: os coeficientes dos termos quadráticos e lineares e o termo constante estão todos explícitos na equação acima.

Passo 2

Para saber se uma equação do segundo grau em x e y representa uma circunferência e para encontrar centro e raio, usamos a forma padrão da circunferência:
(x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2},
onde (h,k) é o centro e r é o raio ( r\ge 0). A técnica prática para passar da forma geral para a forma padrão é completar o quadrado em x e em y. Vou explicar como completar o quadrado: para um termo do tipo x^{2}+Bx, adicionamos e subtraímos \left(\dfrac{B}{2}\right)^{2} para reescrever como \left(x+\dfrac{B}{2}\right)^{2}-\left(\dfrac{B}{2}\right)^{2}.

Passo 3

Primeiro simplificamos a equação dividindo tudo por 16 (isso facilita os números):
x^{2}+y^{2}+\frac{1}{2}x+2y+\frac{1}{16}=0.
Aqui eu dividi cada termo da equação original por 16 para obter coeficientes menores.

Passo 4

Agrupamos os termos em x e em y:
\bigl(x^{2}+\tfrac{1}{2}x\bigr)+\bigl(y^{2}+2y\bigr)+\tfrac{1}{16}=0.
Agora vamos completar o quadrado em cada grupo.

Passo 5

Para x^{2}+\tfrac{1}{2}x: o coeficiente B é \tfrac{1}{2}. Metade dele é \tfrac{1}{4} e o quadrado é \left(\tfrac{1}{4}\right)^{2}=\tfrac{1}{16}. Logo
x^{2}+\tfrac{1}{2}x = \left(x+\tfrac{1}{4}\right)^{2}-\tfrac{1}{16}.

Passo 6

Para y^{2}+2y: o coeficiente B é 2. Metade dele é 1 e o quadrado é 1^{2}=1. Logo
y^{2}+2y = (y+1)^{2}-1.

Passo 7

Substituindo essas expressões na equação do Passo 4:
\left(x+\tfrac{1}{4}\right)^{2}-\tfrac{1}{16} + (y+1)^{2}-1 + \tfrac{1}{16}=0.
Agora simplificamos os termos constantes: -\tfrac{1}{16} + \tfrac{1}{16} = 0, restando apenas -1. Portanto
\left(x+\tfrac{1}{4}\right)^{2}+(y+1)^{2}-1=0.
Isolando o 1 do lado direito, obtemos a forma padrão:
\left(x+\tfrac{1}{4}\right)^{2}+(y+1)^{2}=1.

Passo 8

Comparando com (x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2}, vemos que h=-\tfrac{1}{4}, k=-1 e r^{2}=1. Como o raio é não negativo, r=1. Para conferir rapidamente, se você expandir \left(x+\tfrac{1}{4}\right)^{2}+(y+1)^{2}=1 e multiplicar por 16 volta-se à equação original, então está consistente.

Resposta

Centro: \left(-\tfrac{1}{4},-1\right)
Raio: 1

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