Mostre que a equação representa uma circunferência e determine o centro e o raio.
(16 x^{2}+16 y^{2}+8 x+32 y+1=0)
(16 x^{2}+16 y^{2}+8 x+32 y+1=0)
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: mostrar que a equação representa uma circunferência e determinar o seu centro e o seu raio. A equação dada é
Informações relevantes fornecidas: os coeficientes dos termos quadráticos e lineares e o termo constante estão todos explícitos na equação acima.
Passo 2
Para saber se uma equação do segundo grau em
e
representa uma circunferência e para encontrar centro e raio, usamos a forma padrão da circunferência:
onde
é o centro e
é o raio (
). A técnica prática para passar da forma geral para a forma padrão é completar o quadrado em
e em
. Vou explicar como completar o quadrado: para um termo do tipo
, adicionamos e subtraímos
para reescrever como
.
Passo 3
Primeiro simplificamos a equação dividindo tudo por
(isso facilita os números):
Aqui eu dividi cada termo da equação original por
para obter coeficientes menores.
Passo 4
Agrupamos os termos em
e em
:
Agora vamos completar o quadrado em cada grupo.
Passo 5
Para
: o coeficiente
é
. Metade dele é
e o quadrado é
. Logo
Passo 6
Para
: o coeficiente
é
. Metade dele é
e o quadrado é
. Logo
Passo 7
Substituindo essas expressões na equação do Passo 4:
Agora simplificamos os termos constantes:
, restando apenas
. Portanto
Isolando o
do lado direito, obtemos a forma padrão:
Passo 8
Comparando com
, vemos que
,
e
. Como o raio é não negativo,
. Para conferir rapidamente, se você expandir
e multiplicar por
volta-se à equação original, então está consistente.
Resposta
Centro:
Raio:
Raio: