Mostre que a equação representa uma circunferência e determine o centro e o raio.
(x{2}+y{2}-4 x+10 y+13=0)

Passo 1

O enunciado dá a equação
x^{2}+y^{2}-4x+10y+13=0
e pede duas coisas: (1) mostrar que essa equação representa uma circunferência e (2) determinar o centro e o raio dessa circunferência.
Informações relevantes: os termos quadráticos em x e em y aparecem com coeficiente 1, há termos lineares em x e em y e um termo constante.

Passo 2

Ideia de resolução (sem calcular ainda): uma circunferência no plano tem a forma padrão
(x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2},
onde (h,k) é o centro e r é o raio. Para transformar a equação dada nessa forma usamos o método de completar o quadrado para os termos em x e em y. Vou explicar a técnica de completar o quadrado: para um polinômio quadrático em x da forma
x^{2}+b x,
podemos escrever
x^{2}+b x=\bigl(x+\tfrac{b}{2}\bigr)^{2}-\bigl(\tfrac{b}{2}\bigr)^{2},
porque ao expandir \bigl(x+\tfrac{b}{2}\bigr)^{2} obtemos x^{2}+b x+\bigl(\tfrac{b}{2}\bigr)^{2}, então subtraímos \bigl(\tfrac{b}{2}\bigr)^{2} para voltar ao original. Faremos isso separadamente para os termos em x e em y.

Passo 3

Agrupando termos em x e em y:
x^{2}-4x \quad\text{e}\quad y^{2}+10y,
ficando a equação escrita como
x^{2}-4x + y^{2}+10y +13=0.

Passo 4

Completar o quadrado para o termo em x. Aqui b=-4, então \tfrac{b}{2}=-2 e \bigl(\tfrac{b}{2}\bigr)^{2}=4. Aplicando a fórmula:
x^{2}-4x = \bigl(x-2\bigr)^{2}-4.
Expliquei: \bigl(x-2\bigr)^{2}=x^{2}-4x+4, então subtrai-se 4 para recuperar x^{2}-4x.

Passo 5

Completar o quadrado para o termo em y. Aqui b=10, então \tfrac{b}{2}=5 e \bigl(\tfrac{b}{2}\bigr)^{2}=25. Aplicando a fórmula:
y^{2}+10y = \bigl(y+5\bigr)^{2}-25.
Expliquei: \bigl(y+5\bigr)^{2}=y^{2}+10y+25, e subtrai-se 25 para voltar ao termo original.

Passo 6

Substituindo as expressões completadas na equação original:
\bigl(x-2\bigr)^{2}-4 \;+\; \bigl(y+5\bigr)^{2}-25 \;+\; 13 \;=\; 0.
Agora somamos as constantes -4-25+13. Calculemos passo a passo:
-4-25=-29,\qquad -29+13=-16.
Portanto a equação fica
\bigl(x-2\bigr)^{2}+\bigl(y+5\bigr)^{2}-16=0.

Passo 7

Isolando os quadrados para obter a forma padrão:
\bigl(x-2\bigr)^{2}+\bigl(y+5\bigr)^{2}=16.
Isto é exatamente a forma (x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2}. Comparando, o centro é (h,k)=(2,-5) (repare que temos \bigl(y+5\bigr)^{2}=(y-(-5))^{2}) e r^{2}=16, logo o raio é r=\sqrt{16}=4.

Passo 8

Verificação rápida (opcional, para ganhar confiança): se tomarmos x=2 na equação original, obtemos
4+y^{2}-8+10y+13=0 \quad\Longrightarrow\quad y^{2}+10y+9=0,
cuja fatoração é (y+1)(y+9)=0, ou seja y=-1 ou y=-9. A distância do centro (2,-5) até o ponto (2,-1) é |-1-(-5)|=4, compatível com o raio 4. Boa sinal de que está certo.

Resposta

Centro: (2,-5)
Raio: 4

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