Mostre que a equação representa uma circunferência e determine o centro e o raio.
(x{2}+y{2}-4 x+10 y+13=0)
(x{2}+y{2}-4 x+10 y+13=0)
Passo 1
O enunciado dá a equação
e pede duas coisas: (1) mostrar que essa equação representa uma circunferência e (2) determinar o centro e o raio dessa circunferência.
Informações relevantes: os termos quadráticos em e em
aparecem com coeficiente
, há termos lineares em
e em
e um termo constante.
Informações relevantes: os termos quadráticos em
Passo 2
Ideia de resolução (sem calcular ainda): uma circunferência no plano tem a forma padrão
onde
é o centro e
é o raio. Para transformar a equação dada nessa forma usamos o método de completar o quadrado para os termos em
e em
. Vou explicar a técnica de completar o quadrado: para um polinômio quadrático em
da forma
podemos escrever
porque ao expandir
obtemos
, então subtraímos
para voltar ao original. Faremos isso separadamente para os termos em
e em
.
Passo 3
Agrupando termos em
e em
:
ficando a equação escrita como
Passo 4
Completar o quadrado para o termo em
. Aqui
, então
e
. Aplicando a fórmula:
Expliquei:
, então subtrai-se
para recuperar
.
Passo 5
Completar o quadrado para o termo em
. Aqui
, então
e
. Aplicando a fórmula:
Expliquei:
, e subtrai-se
para voltar ao termo original.
Passo 6
Substituindo as expressões completadas na equação original:
Agora somamos as constantes
. Calculemos passo a passo:
Portanto a equação fica
Passo 7
Isolando os quadrados para obter a forma padrão:
Isto é exatamente a forma
. Comparando, o centro é
(repare que temos
) e
, logo o raio é
.
Passo 8
Verificação rápida (opcional, para ganhar confiança): se tomarmos
na equação original, obtemos
cuja fatoração é
, ou seja
ou
. A distância do centro
até o ponto
é
, compatível com o raio
. Boa sinal de que está certo.
Resposta
Centro:
Raio:
Raio: