Mostre que a equação representa uma esfera e determine seu centro e raio.
x^{2}+y^{2}+z^{2}-2 x-4 y+8 z=15

Passo 1

Enunciado: temos a equação
x^{2}+y^{2}+z^{2}-2x-4y+8z=15.
O que o problema pede:
  • Mostrar que essa equação representa uma esfera.
  • Determinar o centro e o raio dessa esfera.
    Informações dadas: os termos quadráticos x^{2},y^{2},z^{2} e os termos lineares -2x,-4y,+8z e a constante 15.

Passo 2

Ideia e ferramenta que vamos usar: uma esfera no espaço tem, na forma padrão, a equação
(x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}=r^{2},
onde (a,b,c) é o centro e r é o raio. Para transformar a equação dada nessa forma precisamos completar o quadrado em x, em y e em z.
Regra de completar o quadrado (fórmula geral): para um polinômio do tipo u^{2}+pu temos
u^{2}+pu=\bigl(u+\tfrac{p}{2}\bigr)^{2}-\bigl(\tfrac{p}{2}\bigr)^{2}.
Aqui u é a variável ( x,y ou z) e p é o coeficiente linear correspondente.

Passo 3

Completo o quadrado em x. Temos os termos em x:
x^{2}-2x.
Aplicando a fórmula com u=x e p=-2 (pois x^{2}-2x = x^{2}+(-2)x):
x^{2}-2x=\bigl(x+\tfrac{-2}{2}\bigr)^{2}-\bigl(\tfrac{-2}{2}\bigr)^{2}=\bigl(x-1\bigr)^{2}-1.
Verificação rápida (expandindo): (x-1)^{2}-1=x^{2}-2x+1-1=x^{2}-2x, ok.

Passo 4

Completo o quadrado em y. Temos os termos em y:
y^{2}-4y.
Aqui p=-4, então
y^{2}-4y=\bigl(y+\tfrac{-4}{2}\bigr)^{2}-\bigl(\tfrac{-4}{2}\bigr)^{2}=\bigl(y-2\bigr)^{2}-4.
Verificação: (y-2)^{2}-4=y^{2}-4y+4-4=y^{2}-4y.

Passo 5

Completo o quadrado em z. Temos os termos em z:
z^{2}+8z.
Aqui p=8, então
z^{2}+8z=\bigl(z+\tfrac{8}{2}\bigr)^{2}-\bigl(\tfrac{8}{2}\bigr)^{2}=\bigl(z+4\bigr)^{2}-16.
Verificação: (z+4)^{2}-16=z^{2}+8z+16-16=z^{2}+8z.

Passo 6

Substituo as expressões completadas na equação original:
\bigl(x-1\bigr)^{2}-1+\bigl(y-2\bigr)^{2}-4+\bigl(z+4\bigr)^{2}-16=15.
Agrupo as constantes à esquerda:
\bigl(x-1\bigr)^{2}+\bigl(y-2\bigr)^{2}+\bigl(z+4\bigr)^{2}-\bigl(1+4+16\bigr)=15.
Calculo a soma 1+4+16=21. Então
\bigl(x-1\bigr)^{2}+\bigl(y-2\bigr)^{2}+\bigl(z+4\bigr)^{2}-21=15.
Isolo a soma dos quadrados:
\bigl(x-1\bigr)^{2}+\bigl(y-2\bigr)^{2}+\bigl(z+4\bigr)^{2}=15+21.
Portanto
\bigl(x-1\bigr)^{2}+\bigl(y-2\bigr)^{2}+\bigl(z+4\bigr)^{2}=36.

Passo 7

Interpretando a forma padrão: temos exatamente a equação
(x-1)^{2}+(y-2)^{2}+(z+4)^{2}=36,
que é a equação de uma esfera de centro (1,2,-4) e raio \sqrt{36}=6. Como o lado direito é positivo, a esfera é bem definida.

Resposta

Centro: (1,2,-4)
Raio: 6

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