Mostre que a equação representa uma esfera e determine seu centro e raio.
Passo 1
Enunciado: temos a equação
O que o problema pede:
- Mostrar que essa equação representa uma esfera.
- Determinar o centro e o raio dessa esfera.
Informações dadas: os termos quadráticose os termos lineares e a constante .
Passo 2
Ideia e ferramenta que vamos usar: uma esfera no espaço tem, na forma padrão, a equação
onde
é o centro e
é o raio. Para transformar a equação dada nessa forma precisamos completar o quadrado em
, em
e em
.
Regra de completar o quadrado (fórmula geral): para um polinômio do tipo
temos
Aqui
é a variável (
ou
) e
é o coeficiente linear correspondente.
Passo 3
Completo o quadrado em
. Temos os termos em
:
Aplicando a fórmula com
e
(pois
):
Verificação rápida (expandindo):
, ok.
Passo 4
Completo o quadrado em
. Temos os termos em
:
Aqui
, então
Verificação:
.
Passo 5
Completo o quadrado em
. Temos os termos em
:
Aqui
, então
Verificação:
.
Passo 6
Substituo as expressões completadas na equação original:
Agrupo as constantes à esquerda:
Calculo a soma
. Então
Isolo a soma dos quadrados:
Portanto
Passo 7
Interpretando a forma padrão: temos exatamente a equação
que é a equação de uma esfera de centro
e raio
. Como o lado direito é positivo, a esfera é bem definida.
Resposta
Centro:
Raio:
Raio: