Mostre que a equação representa uma esfera e determine seu centro e raio.
x^{2}+y^{2}+z^{2}+8 x-6 y+2 z+17=0

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: mostrar que a equação
x^{2}+y^{2}+z^{2}+8 x-6 y+2 z+17=0
representa uma esfera e determinar o centro e o raio dessa esfera.
Informações dadas: os coeficientes dos termos quadráticos são 1 para x^{2},y^{2},z^{2} e há termos lineares em x,y,z com coeficientes 8,-6,2 respectivamente, além do termo constante 17.

Passo 2

O que significa “representar uma esfera” aqui: uma esfera no espaço tem a forma padrão
(x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}=R^{2},
onde (a,b,c) é o centro e R é o raio. Para mostrar que uma equação do tipo dado é uma esfera basta reescrevê‑la nessa forma — ou seja, completar quadrados nos três variáveis. Vou explicar o método de completar o quadrado de forma intuitiva:
Se você tem um polinômio quadrático em x como \,x^{2}+px, completar o quadrado consiste em reescrevê‑lo como (x+\tfrac{p}{2})^{2} menos um ajuste. Mais precisamente,
x^{2}+p x = \left(x+\frac{p}{2}\right)^{2} - \left(\frac{p}{2}\right)^{2}.
Aqui \tfrac{p}{2} é a metade do coeficiente linear; ao elevar ao quadrado aparece um termo extra que subtrairemos/ajustaremos. Vamos aplicar isso separadamente para x,y,z.

Passo 3

Começo agrupando os termos em x,y,z e isolando o termo constante para o outro lado:
x^{2}+8x + y^{2}-6y + z^{2}+2z = -17.

Passo 4

Completo o quadrado em x. Aqui o coeficiente linear é 8, então \tfrac{8}{2}=4 e \left(\tfrac{8}{2}\right)^{2}=16. Usando a identidade do passo anterior,
x^{2}+8x = \left(x+4\right)^{2} - 16.

Passo 5

Completo o quadrado em y. O coeficiente linear em y é -6, então \tfrac{-6}{2}=-3 e \left(\tfrac{-6}{2}\right)^{2}=9. Assim,
y^{2}-6y = \left(y-3\right)^{2} - 9.

Passo 6

Completo o quadrado em z. O coeficiente linear em z é 2, então \tfrac{2}{2}=1 e \left(\tfrac{2}{2}\right)^{2}=1. Portanto,
z^{2}+2z = \left(z+1\right)^{2} - 1.

Passo 7

Substituo as expressões completas na equação agrupada do passo 3:
\bigl((x+4)^{2}-16\bigr) + \bigl((y-3)^{2}-9\bigr) + \bigl((z+1)^{2}-1\bigr) = -17.
Agora somamos os termos constantes à direita: -16-9-1=-26. Então
(x+4)^{2}+(y-3)^{2}+(z+1)^{2} - 26 = -17.
Isolando os quadrados:
(x+4)^{2}+(y-3)^{2}+(z+1)^{2} = -17 + 26.
Calculando o lado direito:
-17+26=9,
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(x+4)^{2}+(y-3)^{2}+(z+1)^{2}=9.

Passo 8

Interpretando a forma padrão encontrada: ela é exatamente a equação de uma esfera com centro (a,b,c)=(-4,\,3,\,-1) (observe que os sinais vêm de comparar com (x-a)^{2}) e raio R dado por \sqrt{9}=3. Uma observação rápida que ajuda em provas: se a equação tem a forma
x^{2}+y^{2}+z^{2}+2ux+2vy+2wz+c=0,
então o centro é (-u,-v,-w) e o raio é \sqrt{u^{2}+v^{2}+w^{2}-c}. No nosso caso, 2u=8\Rightarrow u=4, 2v=-6\Rightarrow v=-3, 2w=2\Rightarrow w=1, e usando a fórmula daria o mesmo resultado R=\sqrt{4^{2}+(-3)^{2}+1^{2}-17}=\sqrt{16+9+1-17}=\sqrt{9}=3.

Resposta

Centro: (-4,\,3,\,-1)
Raio: 3

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