Mostre que a equação representa uma esfera e determine seu centro e raio.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: mostrar que a equação
representa uma esfera e determinar o centro e o raio dessa esfera.
Informações dadas: os coeficientes dos termos quadráticos são para
e há termos lineares em
com coeficientes
respectivamente, além do termo constante
.
Informações dadas: os coeficientes dos termos quadráticos são
Passo 2
O que significa “representar uma esfera” aqui: uma esfera no espaço tem a forma padrão
onde
é o centro e
é o raio. Para mostrar que uma equação do tipo dado é uma esfera basta reescrevê‑la nessa forma — ou seja, completar quadrados nos três variáveis. Vou explicar o método de completar o quadrado de forma intuitiva:
Se você tem um polinômio quadrático em
como
, completar o quadrado consiste em reescrevê‑lo como
menos um ajuste. Mais precisamente,
Aqui
é a metade do coeficiente linear; ao elevar ao quadrado aparece um termo extra que subtrairemos/ajustaremos. Vamos aplicar isso separadamente para
.
Passo 3
Começo agrupando os termos em
e isolando o termo constante para o outro lado:
Passo 4
Completo o quadrado em
. Aqui o coeficiente linear é
, então
e
. Usando a identidade do passo anterior,
Passo 5
Completo o quadrado em
. O coeficiente linear em
é
, então
e
. Assim,
Passo 6
Completo o quadrado em
. O coeficiente linear em
é
, então
e
. Portanto,
Passo 7
Substituo as expressões completas na equação agrupada do passo 3:
Agora somamos os termos constantes à direita:
. Então
Isolando os quadrados:
Calculando o lado direito:
logo
Passo 8
Interpretando a forma padrão encontrada: ela é exatamente a equação de uma esfera com centro
(observe que os sinais vêm de comparar com
) e raio
dado por
. Uma observação rápida que ajuda em provas: se a equação tem a forma
então o centro é
e o raio é
. No nosso caso,
,
,
, e usando a fórmula daria o mesmo resultado
.
Resposta
Centro:
Raio:
Raio: