Partindo do tensor energia-momento para um fluido de poeira e da equação
, prove que na ausência de forças externas, cada porção do fluido se move com velocidade constante, i.e.,
. Dica: prove a relação
e use-a juntamente
.
Passo 1
O enunciado dá e pede o seguinte (vou listar claramente):
- Dado o tensor energia-momento do fluido de poeira (dust)
onde
é a densidade própria de energia (positiva) e
é a 4-velocidade do fluido.
- Há a conservação local do tensor energia-momento (sem forças externas)
- A pergunta: provar que cada porção do fluido se move com velocidade constante, isto é
Informações adicionais que usaremos (fornecidas ou padrão):
- A 4-velocidade satisfaz a normalização constante
(escolheu-se a convenção com sinal -1; o argumento vale análogo para a outra convenção). - A densidade
. - A dica do enunciado: provar primeiro a relação
e usar também .
Passo 2
Provar a relação
.
Explicando devagar: a 4-velocidade é definida como função das coordenadas do mundoide do fluido parametricamente por
,
A aceleração ao longo da linha de mundo é a derivada total em relação a
:
Usamos a regra da cadeia (total derivative) para expressar a derivada temporal como derivada parcial em coordenadas:
Mas
é a notação curta
e
. Portanto obtemos a identidade pedida:
Isto é só a aplicação direta da regra da cadeia — essencial para ligar derivadas ao longo da linha de mundo com derivadas parciais no espaço-tempo.
Passo 3
Expandir a equação de conservação
usando o tensor da poeira.
Substituindo
e aplicando a regra do produto:
Aqui usei a regra
com
e
, e reagrupando para a forma mais conveniente:
Passo 4
Obter a equação de continuidade a partir da contração com
.
Multiplico a equação anterior por
:
Distribuindo:
Agora observe que
é constante, então sua derivada parcial é zero; em particular
Mas o lado direito expande como
logo
. Assim o segundo termo da expressão anterior desaparece, e resta
Portanto obtemos a equação de continuidade (conservação de massa/energia do fluido)
Passo 5
Retornar à equação conservada e mostrar que a aceleração é zero.
Voltando à expressão obtida em Passo 3,
e substituindo a equação de continuidade
(Passo 4), a primeira parcela some, sobrando
Como
em cada porção do fluido de poeira, podemos dividir por
e obter
Pelo Passo 2 temos
. Assim a igualdade anterior é simplesmente
Ou seja, a aceleração de cada elemento de fluido é nula: cada porção segue uma geodésica de reta (movimento retilíneo uniforme no sentido do espaço-tempo plano), não há aceleração causada por forças internas ou externas.
Como comentário de consistência, a ortogonalidade
também se segue: derivando
ao longo de
dá
, logo
; no nosso caso com
isto é automaticamente satisfeito.
Passo 6
Interpretação física curta e incentivo (rápida, pra não fugir do enunciado).
Resultado: na ausência de forças externas e para o fluido de poeira (sem pressão, sem tensões internas — só transporte de massa), a conservação do tensor energia-momento força que cada parcela não sofra aceleração:
. Em linguagem mais intuitiva: partículas de poeira seguem linhas de mundo com velocidade constante (movimento inercial). Bom trabalho — essa é uma prova curta e elegante que combina produto diferencial, normalização da 4-velocidade e interpretação física.