Partindo do tensor energia-momento para um fluido de poeira e da equação T^{\alpha \beta}{ }_{, \beta}=0, prove que na ausência de forças externas, cada porção do fluido se move com velocidade constante, i.e., \vec{a}=d \vec{U} / d \tau=0. Dica: prove a relação a^{\mu}=U^{\mu}{ }_{, \nu} U^{\nu} e use-a juntamente \operatorname{com} U_{\mu} a^{\mu}=0.

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte (vou listar claramente):
  • Dado o tensor energia-momento do fluido de poeira (dust)
T^{\alpha\beta}=\rho\,U^\alpha U^\beta,
onde \rho é a densidade própria de energia (positiva) e U^\mu é a 4-velocidade do fluido.
  • Há a conservação local do tensor energia-momento (sem forças externas)
T^{\alpha\beta}_{,\beta}=0.
  • A pergunta: provar que cada porção do fluido se move com velocidade constante, isto é
a^\mu=\frac{dU^\mu}{d\tau}=0.
Informações adicionais que usaremos (fornecidas ou padrão):
  • A 4-velocidade satisfaz a normalização constante \;U_\mu U^\mu=-1\; (escolheu-se a convenção com sinal -1; o argumento vale análogo para a outra convenção).
  • A densidade \rho>0.
  • A dica do enunciado: provar primeiro a relação \;a^\mu=U^\mu_{,\nu}U^\nu\; e usar também \;U_\mu a^\mu=0.

Passo 2

Provar a relação \;a^\mu=U^\mu_{,\nu}U^\nu\;.
Explicando devagar: a 4-velocidade é definida como função das coordenadas do mundoide do fluido parametricamente por \tau,
U^\mu(\tau)=\frac{dx^\mu(\tau)}{d\tau}.
A aceleração ao longo da linha de mundo é a derivada total em relação a \tau:
a^\mu=\frac{dU^\mu}{d\tau}.
Usamos a regra da cadeia (total derivative) para expressar a derivada temporal como derivada parcial em coordenadas:
\frac{dU^\mu}{d\tau}=\frac{\partial U^\mu}{\partial x^\nu}\frac{dx^\nu}{d\tau}.
Mas \partial U^\mu/\partial x^\nu é a notação curta U^\mu_{,\nu} e dx^\nu/d\tau=U^\nu. Portanto obtemos a identidade pedida:
a^\mu=\frac{dU^\mu}{d\tau}=U^\mu_{,\nu}U^\nu.
Isto é só a aplicação direta da regra da cadeia — essencial para ligar derivadas ao longo da linha de mundo com derivadas parciais no espaço-tempo.

Passo 3

Expandir a equação de conservação \;T^{\alpha\beta}_{,\beta}=0\; usando o tensor da poeira.
Substituindo T^{\alpha\beta}=\rho U^\alpha U^\beta e aplicando a regra do produto:
0=T^{\alpha\beta}_{,\beta}=(\rho U^\alpha U^\beta)_{,\beta} =U^\alpha(\rho U^\beta)_{,\beta}+\rho\,U^\beta U^\alpha_{,\beta}.
Aqui usei a regra (XY)_{,\beta}=X Y_{,\beta}+X_{,\beta}Y com X=\rho U^\alpha e Y=U^\beta, e reagrupando para a forma mais conveniente:
U^\alpha(\rho U^\beta)_{,\beta}+\rho\,U^\beta U^\alpha_{,\beta}=0.

Passo 4

Obter a equação de continuidade a partir da contração com U_\alpha.
Multiplico a equação anterior por U_\alpha:
0=U_\alpha\Big[U^\alpha(\rho U^\beta)_{,\beta}+\rho\,U^\beta U^\alpha_{,\beta}\Big].
Distribuindo:
0=(U_\alpha U^\alpha)(\rho U^\beta)_{,\beta}+\rho\,U_\alpha U^\beta U^\alpha_{,\beta}.
Agora observe que U_\alpha U^\alpha=-1 é constante, então sua derivada parcial é zero; em particular
U^\beta (U_\alpha U^\alpha)_{,\beta}=0.
Mas o lado direito expande como
U^\beta (U_\alpha U^\alpha)_{,\beta}=2\,U_\alpha U^\beta U^\alpha_{,\beta},
logo U_\alpha U^\beta U^\alpha_{,\beta}=0. Assim o segundo termo da expressão anterior desaparece, e resta
0=(U_\alpha U^\alpha)(\rho U^\beta)_{,\beta}=-1\cdot(\rho U^\beta)_{,\beta}.
Portanto obtemos a equação de continuidade (conservação de massa/energia do fluido)
(\rho U^\beta)_{,\beta}=0.

Passo 5

Retornar à equação conservada e mostrar que a aceleração é zero.
Voltando à expressão obtida em Passo 3,
U^\alpha(\rho U^\beta)_{,\beta}+\rho\,U^\beta U^\alpha_{,\beta}=0,
e substituindo a equação de continuidade (\rho U^\beta)_{,\beta}=0 (Passo 4), a primeira parcela some, sobrando
\rho\,U^\beta U^\alpha_{,\beta}=0.
Como \rho>0 em cada porção do fluido de poeira, podemos dividir por \rho e obter
U^\beta U^\alpha_{,\beta}=0.
Pelo Passo 2 temos a^\alpha=U^\alpha_{,\beta}U^\beta. Assim a igualdade anterior é simplesmente
a^\alpha=0.
Ou seja, a aceleração de cada elemento de fluido é nula: cada porção segue uma geodésica de reta (movimento retilíneo uniforme no sentido do espaço-tempo plano), não há aceleração causada por forças internas ou externas.
Como comentário de consistência, a ortogonalidade U_\mu a^\mu=0 também se segue: derivando U_\mu U^\mu=-1 ao longo de \tau 2U_\mu a^\mu=0, logo U_\mu a^\mu=0; no nosso caso com a^\mu=0 isto é automaticamente satisfeito.

Passo 6

Interpretação física curta e incentivo (rápida, pra não fugir do enunciado).
Resultado: na ausência de forças externas e para o fluido de poeira (sem pressão, sem tensões internas — só transporte de massa), a conservação do tensor energia-momento força que cada parcela não sofra aceleração: \;a^\mu=0\;. Em linguagem mais intuitiva: partículas de poeira seguem linhas de mundo com velocidade constante (movimento inercial). Bom trabalho — essa é uma prova curta e elegante que combina produto diferencial, normalização da 4-velocidade e interpretação física.

Resposta

a^\mu=0

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