Mostre que a equação
tem pelo menos 3 soluções.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a equação
tem pelo menos três soluções reais. O conteúdo principal aqui é o Teorema do Valor Intermediário (Bolzano) aplicado a funções contínuas por partes, e vamos precisar usar as propriedades de continuidade de
em intervalos sem suas assimptotas e a paridade de
. Vamos definir a função
e procurar mudanças de sinal em intervalos adequados.
Passo 2
Definimos
. Na janela
, onde
e
são contínuos, temos diretamente
Logo
é uma solução da equação.
Passo 3
Agora buscamos outra solução em
. Note que
é contínua nesse intervalo. Calculamos
E, fazendo
,
Como houve troca de sinal de
para o limite em
, pelo Teorema de Bolzano existe ao menos um
tal que
.
Passo 4
Para obter uma terceira solução, exploramos a paridade de
. Como
, temos
Ou seja,
é ímpar. Assim, se
, então
e
.
Passo 5
Concluímos que existem pelo menos três soluções reais para
:
uma em ,
outra em ,
e a terceira em .
uma em
outra em
e a terceira em
Resposta
As três soluções garantidas são:
–
– um valor
– e seu simétrico
.
Logo,
tem pelo menos três soluções reais.