Mostre que a equação tan (x)=x tem pelo menos 3 soluções.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a equação tan(x)=x tem pelo menos três soluções reais. O conteúdo principal aqui é o Teorema do Valor Intermediário (Bolzano) aplicado a funções contínuas por partes, e vamos precisar usar as propriedades de continuidade de tan(x) em intervalos sem suas assimptotas e a paridade de tan(x). Vamos definir a função f(x)=tan(x)-x e procurar mudanças de sinal em intervalos adequados.

Passo 2

Definimos f(x)=tan(x)-x. Na janela ( -tfracpi2,tfracpi2 ), onde tan(x) e x são contínuos, temos diretamente
f(0)=tan(0)-0=0
Logo x=0 é uma solução da equação.

Passo 3

Agora buscamos outra solução em (pi,tfrac3pi2). Note que f é contínua nesse intervalo. Calculamos
f(pi)=tan(pi)-pi=-pi<0
E, fazendo xtotfrac3pi2^-,
limxtotfrac3pi2^-f(x)=limxtotfrac3pi2^-tan(x)-x=+infty-tfrac3pi2=+infty>0
Como houve troca de sinal de f(pi) para o limite em 3pi/2^-, pelo Teorema de Bolzano existe ao menos um xi1in(pi,tfrac3pi2) tal que f(xi1)=0.

Passo 4

Para obter uma terceira solução, exploramos a paridade de f. Como tan(-x)=-tan(x), temos
f(-x)=tan(-x)-(-x)=-tan(x)+x=-(tan(x)-x)=-f(x)
Ou seja, f é ímpar. Assim, se f(xi1)=0, então f(-xi1)=0 e -xi1in(-tfrac3pi2,-pi).

Passo 5

Concluímos que existem pelo menos três soluções reais para tan(x)=x:
uma em x=0,
outra em x=xi1in(pi,tfrac3pi2),
e a terceira em x=-xi1in(-tfrac3pi2,-pi).

Resposta

As três soluções garantidas são:
x=0
– um valor xi1in(pi,tfrac3pi2)
– e seu simétrico -xi1in(-tfrac3pi2,-pi).
Logo, tan(x)=x tem pelo menos três soluções reais.

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