Questão 6: Utilize estudo de sinais para eliminar o módulo das seguintes expressões:
|x^2+x-6|+2|x-1|

Passo 1

A gente precisa eliminar os módulos de |x^2+x-6|+2|x-1|. O conteúdo aqui é estudo de sinais de funções polinomiais e lineares. Para isso, vamos fatorar as expressões, achar os pontos em que cada módulo zera e montar intervalos para analisar o sinal.

Passo 2

Primeiro fatoramos a parte quadrática: x^2+x-6 = (x+3)(x-2). As raízes são x=-3 e x=2. A parte linear x-1 zera em x=1. Esses três valores vão definir os intervalos.

Passo 3

Definimos então os intervalos a partir de -3,,1,,2 e analisamos o sinal de x+3, x-2 e x-1 em cada um, deduzindo o sinal de x^2+x-6 e de x-1:
• Para x< -3:
x+3<0, x-2<0, x-1<0 x^2+x-6>0 e x-1<0.
• Para -3<= x<1:
x+3>=0, x-2<0, x-1<0 x^2+x-6<0 e x-1<0.
• Para 1<= x<2:
x+3>0, x-2<0, x-1>=0 x^2+x-6<0 e x-1>=0.
• Para x>=2:
x+3>0, x-2>=0, x-1>0 x^2+x-6>0 e x-1>0.

Passo 4

Agora, em cada intervalo, trocamos o módulo por “+” ou “–” conforme o sinal de cada parte e simplificamos:
• Em x< -3:
|x^2+x-6| = x^2+x-6 e |x-1| = -(x-1).
f(x)=x^2+x-6 +2l(-x+1r)=x^2-x-4
• Em -3<= x<1:
|x^2+x-6| = -(x^2+x-6) e |x-1| = -(x-1).
f(x)=-(x^2+x-6)+2l(-x+1r)=-x^2-3x+8
• Em 1<= x<2:
|x^2+x-6| = -(x^2+x-6) e |x-1| = x-1.
f(x)=-(x^2+x-6)+2(x-1)=-x^2+x+4
• Em x>=2:
|x^2+x-6| = x^2+x-6 e |x-1| = x-1.
f(x)=x^2+x-6 +2(x-1)=x^2+3x-8

Resposta

|x^2+x-6|+2|x-1|= x^2-x-4, & x< -3, - x^2 -3x +8, & -3 <= x <1, - x^2 + x +4, & 1 <= x <2, x^2 + 3x -8, & x >= 2

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