Mostre que a equação x^4+x-1=0 possui pelo menos duas raízes reais.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a equação x^4 + x - 1 = 0 possui pelo menos duas raízes reais. O conteúdo envolve polinômios e o Teorema do Valor Intermediário (TVI). Como polinômios são funções contínuas, basta encontrar dois intervalos em que a função mude de sinal.

Passo 2

Definimos a função f(x) = x^4 + x - 1. Sabemos que f é contínua em R. O Teorema do Valor Intermediário afirma que se f(a)cdot f(b)<0, então existe pelo menos um cin(a,b) tal que f(c)=0.

Passo 3

Calculamos f(-2) e f(-1):
f(-2)=(-2)^4+(-2)-1=16-2-1=13>0,
f(-1)=(-1)^4+(-1)-1=1-1-1=-1<0
Como f(-2)cdot f(-1)<0, existe pelo menos uma raiz em (-2,-1).

Passo 4

Calculamos f(0) e f(1):
f(0)=0^4+0-1=-1<0,
f(1)=1^4+1-1=1>0
Como f(0)cdot f(1)<0, há pelo menos uma raiz em (0,1).

Resposta

A equação x^4 + x - 1 = 0 possui pelo menos duas raízes reais: uma em (-2,-1) e outra em (0,1).

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