Escoçar o gráfico e determinar a série de Fourier das seguintes funções:
.
Passo 1
O enunciado pede para esboçar o gráfico de uma função periódica de período
definida por partes em
e, em seguida, determinar sua série de Fourier. O conteúdo envolve séries de Fourier de funções não necessariamente simétricas, e vamos precisar usar as fórmulas de
,
e
junto com integrais sobre os intervalos onde
está definida.
Passo 2
Primeiro vamos esboçar o gráfico de
num período em
:
- Para
, , que é uma reta que varia de até . - Para
, , que é segmento horizontal em .
E então repetimos esse padrão com período.
Passo 3
A série de Fourier de período
é
onde
,
$$a_0=\frac{1}{T}\int_{-3}^{3}f(t),dt,\quad a_n=\frac{2}{T}\int_{-3}^{3}f(t)\cos(n\omega_0t),dt,\quad b_n=\frac{2}{T}\int_{-3}^{3}f(t)\sin(n\omega_0t),dt.
$$
Passo 4
Vamos calcular
:
o que dá
Passo 5
Para
usamos o fato de dividir as integrais:
Fazendo as contas (integração por partes e usando
,
), chega-se a
Passo 6
Para
procedemos de modo análogo:
Após integrar por partes e usar
,
, obtém-se
Passo 7
Reunindo tudo, a série de Fourier fica com
:
Resposta
A série de Fourier de
é
$$
f(t)=\frac{9}{4}+\sum_{n=1}{\infty}\Biggl[\frac{3\bigl(1-(-1)n\bigr)}{n2\pi2}\cos\Bigl(\tfrac{n\pi}{3}t\Bigr)+\frac{3(-1)^{n+1}}{n\pi}\sin\Bigl(\tfrac{n\pi}{3}t\Bigr)\Biggr].$$