Escoçar o gráfico e determinar a série de Fourier das seguintes funções:
f(t)=cct+3, & se -3 <= t <= 0, 3, & se 0.

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o gráfico de uma função periódica de período T=6 definida por partes em [-3,3] e, em seguida, determinar sua série de Fourier. O conteúdo envolve séries de Fourier de funções não necessariamente simétricas, e vamos precisar usar as fórmulas de a0, an e bn junto com integrais sobre os intervalos onde f(t) está definida.

Passo 2

Primeiro vamos esboçar o gráfico de f(t) num período em [-3,3]:
  • Para -3<= t<=0, f(t)=t+3, que é uma reta que varia de f(-3)=0 até f(0)=3.
  • Para 0, f(t)=3, que é segmento horizontal em y=3.
    E então repetimos esse padrão com período 6.

Passo 3

A série de Fourier de período T=6 é
f(t)=a0+sumn=1^inftyl(ancos(nomega0 t)+bnsin(nomega0 t)r),
onde omega0=2piT=pi3,
$$a_0=\frac{1}{T}\int_{-3}^{3}f(t),dt,\quad a_n=\frac{2}{T}\int_{-3}^{3}f(t)\cos(n\omega_0t),dt,\quad b_n=\frac{2}{T}\int_{-3}^{3}f(t)\sin(n\omega_0t),dt.
$$

Passo 4

Vamos calcular a0:
integral-3^3f(t),dt=integral-3^0(t+3),dt+integral0^33,dt =92+9=272,
o que dá
a0=16cdot272=94

Passo 5

Para an usamos o fato de dividir as integrais:
an=13gl(integral-3^0(t+3)cosl(ntfracpi3tr)dt+integral0^33cosl(ntfracpi3tr)dtgr)
Fazendo as contas (integração por partes e usando cos(npi)=(-1)^n, sin(npi)=0), chega-se a
an=3l(1-(-1)^nr)n^2pi^2

Passo 6

Para bn procedemos de modo análogo:
bn=13gl(integral-3^0(t+3)sinl(ntfracpi3tr)dt+integral0^33sinl(ntfracpi3tr)dtgr)
Após integrar por partes e usar cos(npi)=(-1)^n, sin(npi)=0, obtém-se
bn=3(-1)^n+1npi

Passo 7

Reunindo tudo, a série de Fourier fica com omega0=tfracpi3:
f(t)=94+sumn=1^inftyl[3l(1-(-1)^nr)n^2pi^2cosl(ntfracpi3tr)+3(-1)^n+1npisinl(ntfracpi3tr)r]

Resposta

A série de Fourier de f(t) é
$$
f(t)=\frac{9}{4}+\sum_{n=1}{\infty}\Biggl[\frac{3\bigl(1-(-1)n\bigr)}{n2\pi2}\cos\Bigl(\tfrac{n\pi}{3}t\Bigr)+\frac{3(-1)^{n+1}}{n\pi}\sin\Bigl(\tfrac{n\pi}{3}t\Bigr)\Biggr].$$

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