Mostre que as funções abaixo são contínuas em todo R.
b) h(x)=e^x^2+5 x+2

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função h: ℝ → (0, ∞) dada por h(x)=e{x{2}+5x+2} é contínua em todo ℝ. Vamos usar o fato de que polinômios e a função exponencial são contínuos e que a composição de funções contínuas é contínua.

Passo 2

Considere o polinômio p(x)=x^{2}+5x+2. Sabemos que qualquer polinômio é contínuo em ℝ, pois é obtido por soma e produto das funções identidade e constantes, todas contínuas.

Passo 3

A função exponencial exp(t)=e^{t} é contínua em ℝ. Esse é um resultado clássico: para qualquer sequência t_n→t, temos e{t_n}→e{t}, ou por definição ε–δ da continuidade.

Passo 4

Como h(x)=exp(p(x)), ou seja, h = exp ∘ p, temos que h é composição da função exponencial (contínua) com o polinômio p (contínuo). Logo, h é contínua em ℝ.

Resposta

A função h(x)=e{x{2}+5x+2} é contínua em todo ℝ por ser composição de funções contínuas (polinômio e exponencial).

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