Mostre que a equação x^{4}-4 x^{3}+6 x^{2}-4 x+1=0 tem pelo menos uma raiz real.

Passo 1

O enunciado nos dá o polinômio
x^{4}-4x^{3}+6x^{2}-4x+1
e pede para mostrar que a equação
x^{4}-4x^{3}+6x^{2}-4x+1=0
tem pelo menos uma raiz real. Informações relevantes fornecidas:
  • Os coeficientes do polinômio são 1,-4,6,-4,1.
  • O objetivo é provar a existência (pelo menos uma) de solução real para essa equação.

Passo 2

Uma ferramenta útil aqui é o Teorema do Binômio (fórmula de binômio de Newton). Ele diz que, para n inteiro não negativo e quaisquer a,b,
(a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{\,n-k}b^{\,k},
onde \binom{n}{k} é o coeficiente binomial igual a \dfrac{n!}{k!(n-k)!}. Vou aplicar isto com n=4, a=x e b=-1.

Passo 3

Calculo os coeficientes binomiais para n=4:
\binom{4}{0}=1,\qquad \binom{4}{1}=4,\qquad \binom{4}{2}=6,\qquad \binom{4}{3}=4,\qquad \binom{4}{4}=1.
Agora uso a fórmula com a=x e b=-1:
(x-1)^4=\sum_{k=0}^{4}\binom{4}{k}x^{4-k}(-1)^k.
Desenvolvendo termo a termo:
(x-1)^4 = \binom{4}{0}x^4(-1)^0 + \binom{4}{1}x^3(-1)^1 + \binom{4}{2}x^2(-1)^2 + \binom{4}{3}x(-1)^3 + \binom{4}{4}(-1)^4.
Substituindo os valores dos binomiais e sinais:
(x-1)^4 = 1\cdot x^4 - 4\cdot x^3 + 6\cdot x^2 - 4\cdot x + 1.

Passo 4

Comparando, obtemos a identidade polinomial
x^{4}-4x^{3}+6x^{2}-4x+1=(x-1)^4.
Logo a equação original é equivalente a
(x-1)^4=0.

Passo 5

Uma potência par igual a zero força a base a ser zero. Assim,
(x-1)^4=0 \iff x-1=0 \iff x=1.
Portanto existe pelo menos uma raiz real (na verdade exatamente uma raiz real, com multiplicidade 4): x=1.

Resposta

x=1

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