Mostre que a equação
tem pelo menos uma raiz real.
Passo 1
O enunciado nos dá o polinômio
e pede para mostrar que a equação
tem pelo menos uma raiz real. Informações relevantes fornecidas:
- Os coeficientes do polinômio são
. - O objetivo é provar a existência (pelo menos uma) de solução real para essa equação.
Passo 2
Uma ferramenta útil aqui é o Teorema do Binômio (fórmula de binômio de Newton). Ele diz que, para
inteiro não negativo e quaisquer
,
onde
é o coeficiente binomial igual a
. Vou aplicar isto com
,
e
.
Passo 3
Calculo os coeficientes binomiais para
:
Agora uso a fórmula com
e
:
Desenvolvendo termo a termo:
Substituindo os valores dos binomiais e sinais:
Passo 4
Comparando, obtemos a identidade polinomial
Logo a equação original é equivalente a
Passo 5
Uma potência par igual a zero força a base a ser zero. Assim,
Portanto existe pelo menos uma raiz real (na verdade exatamente uma raiz real, com multiplicidade
):
.