A pergunta é: f é contínua em \mathbb{R}? Ou seja, existe alguma descontinuidade em algum ponto de \mathbb{R} ou a função é contínua em todos os pontos?]
Passo 2
Lembrete (definição de continuidade em um ponto), explicado devagarinho: uma função f é contínua em um ponto a se e somente se os três itens abaixo ocorrerem simultaneamente:
f(a) está definido (a função tem valor em a);
\displaystyle\lim_{x\to a} f(x) existe;
\displaystyle\lim_{x\to a} f(x)=f(a).
Para que f seja contínua em \mathbb{R} é preciso que seja contínua em todo número real, isto é, em cada a\in\mathbb{R}.
Passo 3
Primeiro analisamos a expressão para x\neq 3. Observe que o numerador fatoriza:
x^{2}-9=(x-3)(x+3).
Para x\neq 3 podemos cancelar o fator (x-3) no numerador com o denominador, obtendo a forma simplificada
\text{para }x\neq 3:\quad f(x)=x+3.
Isso nos diz que fora do ponto x=3 a função coincide com o polinômio x+3.
Passo 4
Agora avaliamos a continuidade ponto a ponto.
Para qualquer a\neq 3: como f(x)=x+3 numa vizinhança de a, e x+3 é um polinômio (polinômios são contínuos em todo \mathbb{R}), segue que f é contínua em todo a\neq 3.
Em a=3 precisamos verificar os três itens da definição. Já há f(3)=6 dado. Vamos calcular o limite:
\lim_{x\to 3} f(x)=\lim_{x\to 3} (x+3),
pois para x perto de 3 (mas x\neq3) valemos pela forma simplificada. Como x+3 é contínuo, o limite é simplesmente 3+3. Portanto
\lim_{x\to 3} f(x)=6.
Passo 5
Comparando o limite com o valor da função no ponto:
\lim_{x\to 3} f(x)=6=f(3).
Assim, os três itens da definição de continuidade em a=3 estão satisfeitos: f(3) existe, o limite existe e são iguais.
Passo 6
Juntando as observações:
para todo a\neq 3 a função coincide com o polinômio x+3, logo é contínua nesses pontos;
em a=3 o limite existe e coincide com f(3), logo é contínua em 3.
Portanto f é contínua em todo \mathbb{R}. Comentário didático: originalmente a expressão \dfrac{x^{2}-9}{x-3} tem uma descontinuidade removível em x=3, porque o limite existe mas a forma racional não está definida em 3; como o enunciado definiu f(3)=6 (o valor que iguala o limite), a descontinuidade foi “removida”.