Mostre que F(n)>(32)^n-1 para todo inteiro n >= 6.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Primeiro, o que a questão está pedindo? Ela quer que a gente mostre que a sequência é maior que para todo número inteiro que seja 6 ou mais. Isso envolve conhecimentos de sequências e desigualdades matemáticas. Vamos precisar entender como a sequência se comporta e comparar isso com a expressão exponencial .

Passo 2

Primeiro, vamos esclarecer o que é F(n) = F(n-1) + F(n-2) . Geralmente, representa os números de Fibonacci, onde cada termo é a soma dos dois anteriores, começando com e . Então, temos:
Queremos provar que para .

Passo 3

Vamos usar indução matemática, que é uma técnica para provar que uma afirmação é verdadeira para todos os números maiores ou iguais a um certo valor. Primeiro, verificamos se a afirmação é verdadeira para o menor valor, que aqui é .

Passo 4

Vamos calcular F(1) = 1, F(2) = 1, F(3) = 2, F(4) = 3, F(5) = 5, F(6) = 8 e (32)^5 = 24332 approx 7,59375 .
Os primeiros termos de Fibonacci são:
Calculando :
Então, . A base da indução está ok.

Passo 5

Agora, vamos supor que a afirmação seja verdadeira para F(k) > (32)^k-1 e F(k-1) > (32)^k-2 e , ou seja:
Essa é a nossa hipótese de indução.

Passo 6

Precisamos mostrar que F(k+1) = F(k) + F(k-1) .
Sabemos que:
F(k+1) > (32)^k-1 + (32)^k-2
Usando a hipótese de indução:

Passo 7

Vamos fatorar F(k+1) > (32)^k-2 ( 32 + 1 ) = (32)^k-2 ( 52 ) na expressão:
F(k+1) > 52 (32)^k-2 = 52 cdot 1(23)^2 (32)^k
Simplificando:
(32)^k-1 + (32)^k-2 = (32)^k-2 ( 32 + 1 ) = (32)^k-2 cdot 52
Na verdade, uma abordagem mais simples é:
52 (32)^k-2 = 52 cdot (32)^k-2 = (52) (32)^k-2
Queremos comparar isso com 52 (32)^k-2 > (32)^k :
F(k+1) > (32)^k
Observamos que:
Porque e, assim:

Resposta

Portanto, usando indução matemática, mostramos que para todo inteiro .

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