Mostre que
para todo inteiro
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Primeiro, o que a questão está pedindo? Ela quer que a gente mostre que a sequência
é maior que
para todo número inteiro
que seja 6 ou mais. Isso envolve conhecimentos de sequências e desigualdades matemáticas. Vamos precisar entender como a sequência
se comporta e comparar isso com a expressão exponencial
.
Passo 2
Primeiro, vamos esclarecer o que é
. Geralmente,
representa os números de Fibonacci, onde cada termo é a soma dos dois anteriores, começando com
e
. Então, temos:
Queremos provar que
para
.
Passo 3
Vamos usar indução matemática, que é uma técnica para provar que uma afirmação é verdadeira para todos os números maiores ou iguais a um certo valor. Primeiro, verificamos se a afirmação é verdadeira para o menor valor, que aqui é
.
Passo 4
Vamos calcular
e
.
Os primeiros termos de Fibonacci são:
Calculando
:
Então,
. A base da indução está ok.
Passo 5
Agora, vamos supor que a afirmação seja verdadeira para
e
, ou seja:
Essa é a nossa hipótese de indução.
Passo 6
Precisamos mostrar que
.
Sabemos que:
Usando a hipótese de indução:
Passo 7
Vamos fatorar
na expressão:
Simplificando:
Na verdade, uma abordagem mais simples é:
Queremos comparar isso com
:
Observamos que:
Porque
e, assim:
Resposta
Portanto, usando indução matemática, mostramos que
para todo inteiro
.