Mostre que a equação x^5-x^2-2=0 tem pelo menos uma solução no intervalo (0,2)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a equação x^5-x^2-2=0 tem pelo menos uma raiz no intervalo (0,2). O conteúdo envolve o Teorema do Valor Intermediário (ou Bolzano) e a noção de funções contínuas; como polinômios são contínuos, podemos aplicar esse teorema.

Passo 2

Definimos a função f(x)=x^5-x^2-2. Sabemos que polinômios são contínuos em todo R, portanto f é contínua em [0,2]. O Teorema do Valor Intermediário diz que se f(a) e f(b) têm sinais opostos, então existe cin(a,b) tal que f(c)=0.

Passo 3

Calculamos os valores nos extremos do intervalo:
f(0)=0^5-0^2-2=-2<0,
f(2)=2^5-2^2-2=32-4-2=26>0

Passo 4

Como f(0)<0 e f(2)>0, há mudança de sinal de f em [0,2].

Passo 5

Pelo Teorema do Valor Intermediário, existe pelo menos um x0in(0,2) tal que f(x0)=0.

Resposta

Existe pelo menos um xin(0,2) tal que x^5-x^2-2=0.

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