Resolva as equações diferenciais abaixo: (3,0)
\left\{\begin{array}{c}\frac{d y}{d x}=\frac{y+\sqrt{x^{2}+y^{2}}}}{x} \\\ y(3)=4\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá uma equação diferencial com condição inicial. Especificamente:
  • Equação: \displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{y+\sqrt{x^{2}+y^{2}}}{x}.
  • Condição inicial: y(3)=4.
O objetivo é encontrar a função y(x) que satisfaz a equação para x no domínio compatível com a condição inicial e que passa por y(3)=4. Observação: a equação contém divisão por x, então x\neq0; como a condição inicial é em x=3>0, trabalharemos no intervalo onde x>0.

Passo 2

Vamos transformar a equação usando a substituição clássica para termos homogêneos: definir
v=\frac{y}{x},
ou seja y=vx. Essa substituição tenta reduzir a equação a uma forma onde as variáveis se separam. Precisamos da derivada dy/dx em função de v e dv/dx. Usando a regra do produto:
\frac{dy}{dx}=\frac{d(vx)}{dx}=v + x\frac{dv}{dx}.
Aqui v=v(x) é uma nova função a ser encontrada.

Passo 3

Substitui-se y=vx na equação original. Primeiro note que
\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\sqrt{x^{2}+v^{2}x^{2}}=x\sqrt{1+v^{2}},
para x>0. Assim o lado direito fica
\frac{y+\sqrt{x^{2}+y^{2}}}{x}=\frac{vx + x\sqrt{1+v^{2}}}{x}=v+\sqrt{1+v^{2}}.
Igualando com a expressão para dy/dx obtida antes:
v + x\frac{dv}{dx}=v+\sqrt{1+v^{2}}.
Cancelando v em ambos os lados (válido pois é uma igualdade de funções),
obtemos a equação para v:
x\frac{dv}{dx}=\sqrt{1+v^{2}}.

Passo 4

A equação obtida é separável. Reescrevemos isolando os diferenciais:
\frac{dv}{\sqrt{1+v^{2}}}=\frac{dx}{x}.
Essa forma permite integrar cada lado em função de sua variável.

Passo 5

Integramos ambos os lados. A primitiva de 1/\sqrt{1+v^{2}} é a função arco-hiperbólica seno (também chamada de \operatorname{arsinh} ou \operatorname{asinh}):
\int\frac{dv}{\sqrt{1+v^{2}}}=\operatorname{arsinh}(v)+C_1.
A primitiva de 1/x é o logaritmo natural:
\int\frac{dx}{x}=\ln|x|+C_2.
Igualando e agrupando constantes obtemos
\operatorname{arsinh}(v)=\ln|x|+C,
onde C é uma constante arbitrária. Como estamos com x>0, podemos escrever \ln x em vez de \ln|x|. Portanto
\operatorname{arsinh}(v)=\ln x + C.

Passo 6

Voltando a v, aplicamos a função hiperbólica seno inversa: \operatorname{arsinh}(v)=w implica v=\operatorname{sinh}(w). Logo
v=\operatorname{sinh}(\ln x + C).
A constante C é determinada pela condição inicial. Usando y(3)=4 temos v(3)=\dfrac{y(3)}{3}=\dfrac{4}{3}. Logo
\operatorname{arsinh}\!\left(\frac{4}{3}\right)=\ln 3 + C,
portanto
C=\operatorname{arsinh}\!\left(\frac{4}{3}\right)-\ln 3.
Substituindo em v,
v=\operatorname{sinh}\!\big(\ln x + \operatorname{arsinh}\!\left(\tfrac{4}{3}\right)-\ln 3\big) =\operatorname{sinh}\!\big(\ln\!\tfrac{x}{3} + \operatorname{arsinh}\!\left(\tfrac{4}{3}\right)\big).

Passo 7

Agora simplificamos a expressão usando a fórmula de adição para seno hiperbólico:
\operatorname{sinh}(a+b)=\operatorname{sinh} a\operatorname{cosh} b + \operatorname{cosh} a\operatorname{sinh} b.
Tome a=\ln\!\tfrac{x}{3} e b=\operatorname{arsinh}\!\left(\tfrac{4}{3}\right). Temos
\operatorname{sinh} b=\frac{4}{3},\qquad \operatorname{cosh} b=\sqrt{1+\operatorname{sinh}^{2}b}=\sqrt{1+\left(\tfrac{4}{3}\right)^{2}}=\frac{5}{3}.
Além disso, para t=\tfrac{x}{3},
\operatorname{sinh}(\ln t)=\frac{t-\tfrac{1}{t}}{2},\qquad \operatorname{cosh}(\ln t)=\frac{t+\tfrac{1}{t}}{2}.
Aplicando a fórmula:
v=\operatorname{sinh}(\ln t)\cdot\frac{5}{3}+\operatorname{cosh}(\ln t)\cdot\frac{4}{3}.
Substituindo \operatorname{sinh}(\ln t) e \operatorname{cosh}(\ln t):
v=\frac{5}{3}\cdot\frac{t-\tfrac{1}{t}}{2}+\frac{4}{3}\cdot\frac{t+\tfrac{1}{t}}{2}.
Fazendo as contas:
v=\left(\frac{5}{6}+\frac{4}{6}\right)t+\left(-\frac{5}{6}+\frac{4}{6}\right)\frac{1}{t} =\frac{9}{6}t-\frac{1}{6}\frac{1}{t}=\frac{3}{2}t-\frac{1}{6}\frac{1}{t}.
Lembrando t=\dfrac{x}{3}, obtemos
v=\frac{3}{2}\cdot\frac{x}{3}-\frac{1}{6}\cdot\frac{3}{x}=\frac{x}{2}-\frac{1}{2x}.

Passo 8

Lembrando v=\dfrac{y}{x}, multiplicamos por x para obter y:
y(x)=x\left(\frac{x}{2}-\frac{1}{2x}\right)=\frac{x^{2}}{2}-\frac{1}{2}.
Verificação rápida (opcional): \dfrac{dy}{dx}=x. Calculando o lado direito da equação original com essa y,
\frac{y+\sqrt{x^{2}+y^{2}}}{x} =\frac{\tfrac{x^{2}}{2}-\tfrac{1}{2} + x\sqrt{1+\left(\tfrac{y}{x}\right)^{2}}}{x} = \frac{x^{2}/2-1/2}{x} + \sqrt{1+v^{2}}.
Com v=\dfrac{x}{2}-\dfrac{1}{2x} verifica-se que tudo condiz e a igualdade \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{y+\sqrt{x^{2}+y^{2}}}{x} é satisfeita no domínio x>0. Além disso a condição y(3)=4 é atendida: y(3)=\tfrac{9}{2}-\tfrac{1}{2}=4.

Resposta

\displaystyle y(x)=\frac{x^{2}}{2}-\frac{1}{2}

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