Resolva as equações diferenciais abaixo:
Passo 1
O enunciado dá uma equação diferencial com condição inicial. Especificamente:
- Equação:
. - Condição inicial:
.
O objetivo é encontrar a função
que satisfaz a equação para
no domínio compatível com a condição inicial e que passa por
. Observação: a equação contém divisão por
, então
; como a condição inicial é em
, trabalharemos no intervalo onde
.
Passo 2
Vamos transformar a equação usando a substituição clássica para termos homogêneos: definir
ou seja
. Essa substituição tenta reduzir a equação a uma forma onde as variáveis se separam. Precisamos da derivada
em função de
e
. Usando a regra do produto:
Aqui
é uma nova função a ser encontrada.
Passo 3
Substitui-se
na equação original. Primeiro note que
para
. Assim o lado direito fica
Igualando com a expressão para
obtida antes:
Cancelando
em ambos os lados (válido pois é uma igualdade de funções),
obtemos a equação para :
obtemos a equação para
Passo 4
A equação obtida é separável. Reescrevemos isolando os diferenciais:
Essa forma permite integrar cada lado em função de sua variável.
Passo 5
Integramos ambos os lados. A primitiva de
é a função arco-hiperbólica seno (também chamada de
ou
):
A primitiva de
é o logaritmo natural:
Igualando e agrupando constantes obtemos
onde
é uma constante arbitrária. Como estamos com
, podemos escrever
em vez de
. Portanto
Passo 6
Voltando a
, aplicamos a função hiperbólica seno inversa:
implica
. Logo
A constante
é determinada pela condição inicial. Usando
temos
. Logo
portanto
Substituindo em
,
Passo 7
Agora simplificamos a expressão usando a fórmula de adição para seno hiperbólico:
Tome
e
. Temos
Além disso, para
,
Aplicando a fórmula:
Substituindo
e
:
Fazendo as contas:
Lembrando
, obtemos
Passo 8
Lembrando
, multiplicamos por
para obter
:
Verificação rápida (opcional):
. Calculando o lado direito da equação original com essa
,
Com
verifica-se que tudo condiz e a igualdade
é satisfeita no domínio
. Além disso a condição
é atendida:
.