Mostre que a equação 2 x+cos x=0 tem solução na reta, utilizando o Teorema do Valor Intermediário, e que essa solução é única utilizando o Teorema do Valor Médio.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a equação 2x+cos x=0 tem pelo menos uma solução real usando o Teorema do Valor Intermediário (TVI) e que essa solução é única usando o Teorema do Valor Médio (MVT). Vamos definir a função f(x)=2x+cos x, que é contínua em R pois soma de função linear e cosseno.

Passo 2

Para aplicar o TVI, avaliamos f em dois pontos onde o sinal seja distinto. Por exemplo: f(-1)=2(-1)+cos(-1)=-2+cos1approx-2+0,54=-1,46<0 e f(1)=2(1)+cos1=2+0,54=2,54>0. Como f é contínua e f(-1)<0, existe cin(-1,1) tal que f(c)=0.

Passo 3

Para mostrar que a solução é única, suponha, por contradição, que existam duas raízes x1 de f(x)=0. Pelo Teorema do Valor Médio haveria xiin(x1,x2) tal que
f'(xi)=f(x2)-f(x1)x2-x1=0-0x2-x1=0

Passo 4

Mas f'(x)=2-sin x, e como -1<=sin x<=1, temos f'(x)>=2-1=1>0 para todo x. Isso contradiz f'(xi)=0. Portanto, só pode existir uma única raiz.

Passo 5

Com isso concluímos que há pelo menos uma solução real de 2x+cos x=0 e que ela é única.

Resposta

A equação 2x+cos x=0 possui exatamente uma solução real.

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