Mostre que a equação
tem solução na reta, utilizando o Teorema do Valor Intermediário, e que essa solução é única utilizando o Teorema do Valor Médio.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a equação
tem pelo menos uma solução real usando o Teorema do Valor Intermediário (TVI) e que essa solução é única usando o Teorema do Valor Médio (MVT). Vamos definir a função
, que é contínua em
pois soma de função linear e cosseno.
Passo 2
Para aplicar o TVI, avaliamos
em dois pontos onde o sinal seja distinto. Por exemplo:
e
. Como
é contínua e
, existe
tal que
.
Passo 3
Para mostrar que a solução é única, suponha, por contradição, que existam duas raízes
de
. Pelo Teorema do Valor Médio haveria
tal que
Passo 4
Mas
, e como
, temos
para todo
. Isso contradiz
. Portanto, só pode existir uma única raiz.
Passo 5
Com isso concluímos que há pelo menos uma solução real de
e que ela é única.
Resposta
A equação
possui exatamente uma solução real.