Prove que
. (Este é principalmente um exercício de entender o significado das expressões.)
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que as duas maneiras de escrever o limite de uma função — seja tomando a variável de aproximação como
que tende a
, seja como uma pequena mudança
que tende a zero — são equivalentes. Vamos usar a definição
-
de limite para ver isso.
Passo 2
Por definição, dizemos que
se, para todo
, existe
tal que sempre que
então
.
Passo 3
Agora fazemos a troca de variável
. Observe que quando
temos
, e a condição
fica exatamente
. Além disso,
. Então a definição de
é: para todo
existe
tal que se
então
.
Passo 4
Como ambas definições utilizam exatamente o mesmo
-
e a mesma expressão de proximidade, concluímos que
se e somente se
. Portanto os limites são iguais.