Prove que lim x a f(x)=lim h 0 f(a+h). (Este é principalmente um exercício de entender o significado das expressões.)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que as duas maneiras de escrever o limite de uma função — seja tomando a variável de aproximação como x que tende a a, seja como uma pequena mudança h que tende a zero — são equivalentes. Vamos usar a definição varepsilon- de de limite para ver isso.

Passo 2

Por definição, dizemos que limxto af(x)=L se, para todo varepsilon>0, existe de0 tal que sempre que 0<|x-a| então |f(x)-L|.

Passo 3

Agora fazemos a troca de variável h=x-a. Observe que quando xto a temos hto 0, e a condição 0<|x-a| fica exatamente 0<|h|. Além disso, f(x)=f(a+h). Então a definição de limhto0f(a+h)=L é: para todo varepsilon>0 existe de0 tal que se 0<|h| então |f(a+h)-L|.

Passo 4

Como ambas definições utilizam exatamente o mesmo varepsilon- de e a mesma expressão de proximidade, concluímos que limxto af(x)=L se e somente se limhto0f(a+h)=L. Portanto os limites são iguais.

Resposta

limxto af(x)=limhto0f(a+h).

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